むじかのソリトンのための微分方程式講座その１

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

そう、テキストにあるように両辺を積分していいわ。積分の記法もこうした微分の記法に対応していて、結局微小量dxを積み上げたものが積分なので、さっきの式はそのまま∫をつけるだけでいいわ。そして、そのまま積分を実行すると。

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics 左辺はyで積分するけど、右辺はxで積分するのね。記号通りに素直に積分っと...φ(. . )...

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

いいところに気がつきました♪微分でもそうだけど「何について微分をするのか」「何について積分するのか」はすごく重要よ。大学受験でも生きる考え方だから是非、気を配ってね。 @chemica_tan 左辺はyで積分するけど、右辺はxで積分するのね。記号通りに素直に積分

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

そして、ここで高校3年生の方々は思い出して欲しいんだけど、対数の微分…覚えてるかしら？

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

log(x)をxで微分すると…1/xになるわ。これは1/xをxで積分すると逆にlog(x)になる。これは高校の数学でもやるわね（数学Ⅲの範囲）

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

ちなみに、この対数の微分と分数の積分で係数ついたとたんフリーズしちゃう子が多いんだけど、係数が変数でない限りはあまり関係ないわ。とは言え、対数にするときはlogの定義を良く思い出して欲しいけどね。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

と言う事で積分した結果、こうなりました。 2log(y)=log(x)+C

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

このままではお世辞には綺麗とはいえないので指数-対数の定義から式変形をすると y^2=Cx となるわ。積分定数は適時足したり引いたりかけたりしててもとの形とは変わってるけど不定積分を行う上での宿命なので深追いはしないわ。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

と、一番解きやすい微分方程式である変数分離形の例題をやってみたけど、けみか、どうかしら？ @chemica_tan

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics えーと... 2log(y) = log(x) + c 対数の頭についてる係数を指数のべきにするでしょ？ log(y^2) = log(x) + c

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics log(y^2) = log(x) + c でもって、e^(log(z)) = zでしょ？だから... y^2 = e^(log(x)+c) y^2 = Cx (e^c = Cということにした。積分定数なんてどのみちオマケ...) できた！

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

はい、よくできました♪じゃ、10分休憩挟んで次に移りましょう♪ @chemica_tan

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

はい、では続きをやっていくわね。次のテキストを置いておくわね。 pic.twitter.com/fvyfhsq4aR

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音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

変数分離形の次は同次形の微分方程式よ。 高校生的には置換積分の微分方程式バージョンと言ったほうがイメージしやすいかしらね。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

同次形の定義は以下の通りよ。 dy/dx=f(y/x) これ、名前と式の形がピンときにくいけど左辺がdy/dxでこれは⊿y/⊿xと同義なのでy/xの微小量の極限と解釈できてxとyについてそれぞれ同次で計算できる形なのでこういう名前…と思えばいいと思うわ。

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics 同次形はテキストに書いてある通り、定番の式変形があるんだよね？

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

そうよ、なので具体例を使ってそれをみていきましょう。 @chemica_tan 同次形はテキストに書いてある通り、定番の式変形があるんだよね？

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

【お詫び】先ほどのテキスト2枚目の式の一部に誤りがありました。修正版を上げますので少々お待ちください。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

基本的にはy=xu(x)と言う中間的な関数を使って式変形して解いていくわ。 そして、修正したテキストはこちら。 例題として (x^2-y^2)(dy/dx)=2xy を解いていきましょう。 pic.twitter.com/YkguRZNT9e

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けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics はーい。2.2の先頭にある同次形の定義通りになるように式変形します。 dy/dx = 2xy/(x^2-y^2) ここから更に右辺を式変形します。（続く）

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics （続き） dy/dx = 2xy/(x^2-y^2) 右辺を整理。分母と分子をx^2で割ります。 2xy/(x^2-y^2) = {(2xy/x^2)}/{(x^2-y^2)/x^2} = {2(y/x)}/{1-(y/x)^2} ふぅ、安心。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

ここまで来たらy=xu(x) ⇒ u(x)=y/xを利用して置き換えるとあら不思議、変数分離形に変換できそうね。 @chemica_tan

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics y=xu(x)、つまりu(x)っていう新しい関数を作って、u(x)=y/xにしたってことね。 置き換えていきますか。 {2(y/x)}/{1-(y/x)^2} = 2u(x)/[1-{u(x)}^2] カッコが多いけど、フォロワーさん大丈夫かしら？