超準解析を代数的に。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[超準解析を代数的に。 #NA_alg ] 予備知識：可換環・体の入門的内容。 内容：実数体Rから超実数体R^*の代数的構成。 Wikipedia：http://ja.wikipedia.org/wiki/超準解析

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[1. #NA_alg ] 以下のようにRの（可算）無限列(a_n)_{n∈N}の全体R^∞に対して環構造が定められる： (a_n)+(b_n)=(a_n + b_n), (a_n)(b_n)=(a_n ・ b_n), 0=(0,0,0, ...), 1=(1,1,1, ...)

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[2. #NA_alg ] m:={(a_n)∈R^∞ : ∃k∈N ∀i≧k a_i=0 }はR^∞のイデアルとなる。mを極大イデアルm'に拡大する（そのようなm’は複数あるが一つ固定する）。剰余環R^∞/m'をR^*とおくと、（m'が極大イデアルであるから）これは体となる。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[3. #NA_alg ] R^*上の順序を以下のように定める：[(a_n)], [(b_n)]∈R^*に対して、[(a_n)]<[(b_n)]⇔(c_n)∈m' ただし、(c_n)は、b_n - a_n > 0ならc_n = 0、そうでないならc_n=1と定められる数列。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

代数での構成はウル覚えです。順序の覚えてないのでウルトラフィルターでの構成の逆算から自作で定めました(；・∀・)大丈夫かな・・・

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[4. #NA_alg ] このように順序を定めると、R^*は順序体をなす。この順序体を超実数体と呼ぶ。RからR^*への単射準同型a |→ [(a,a,a, ...)]があるので、aと(a,a,a, ...)を同一視すれば、R⊆R^*とみなせる。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[5. #NA_alg] n変数実関数f : R^n→Rに対して、f^* : (R^*)^n→R^*を f^*([(a_n)], [(b_n)], ... )=[(f(a_n, b_n, ... ))] と定める（well-definedです）。このf^*をfの自然延長と呼ぶ。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[6. #NA_alg ] R^*上の無限小の例：[(1, 1/2, 1/3, 1/4,... )], [(e^-1, e^-2, e^-3,...)]. 無限大の例：[(1, 2, 3, 4,...)], [(2, 4, 6, 8, 10,... )]

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[7. #NA_alg ] この超実数体の性質などについてはwikipediaなどを見てね（ごめんなさいｗ疲れましたorz）。今回構成した超実数体がwikipediaに書いてある諸性質を満たすことは演習問題とする（投げやりｗ）。終わり。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[超冪での構成をご存じの方へ #NA_alg ] U:={A⊆N : χ_(N＼A) ∈ m'}はN上のultrafilterとなり(ry。ただし、χ_Aは特性関数（を数列とみてる）。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

NA_alg とやらにちょっと口を出すかどうか。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

@alg_d NA_alg に関する意見などは僕が聞きます。あればどうぞ。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

よし NA_alg について書くか (補足?)

V-alg-d（ZZ） @alg_d

まず、イデアルm(もしくはm') と言うものの定義を思い出して置きます。 http://twitter.com/evinlatie/status/14487184803368960 #NA_alg

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[2. #NA_alg ] m:={(a_n)∈R^∞ : ∃k∈N ∀i≧k a_i=0 }はR^∞のイデアルとなる。mを極大イデアルm'に拡大する（そのようなm’は複数あるが一つ固定する）。剰余環R^∞/m'をR^*とおくと、（m'が極大イデアルであるから）これは体となる。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

明らかに { (a_n) | a_nは有限個を除いて0 }⊂m (⊂m') となる事に注意して置きます。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

ω:= [(1, 2, 3, 4,...)] =[(n)] が無限大の例と書いてありましたが、これを示そうと思います。　即ち 「任意の自然数kに対し k <ω」 ( k = [(k, k, k, …)]で同一視すると言う事に注意) 。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[3. #NA_alg ] R^*上の順序を以下のように定める：[(a_n)], [(b_n)]∈R^*に対して、[(a_n)]<[(b_n)]⇔(c_n)∈m' ただし、(c_n)は、b_n - a_n > 0ならc_n = 0、そうでないならc_n=1と定められる数列。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

定義に当てはめると 「　[(k, k, …)]<[(1, 2, …)]⇔(c_n)∈m' ただし、(c_n)は、n - k > 0ならc_n = 0、そうでないならc_n=1　」 #NA_alg

V-alg-d（ZZ） @alg_d

よく分からないかもしれませんが、最初に注意したとおり「c_nが有限個のnを除いて0 なら (c_n)∈m'」 です。つまり「(固定してあるkに対し)有限個のnを除いて n-k > 0 なら (c_n)∈m'」　#NA_alg

V-alg-d（ZZ） @alg_d

直感的に言うと、m'と言うのが全ての判断基準を与えてくれます。#NA_alg (先にこれ言った方が良かった…?)

V-alg-d（ZZ） @alg_d

今は実数数列の空間R^∞ なるものを考えているわけで、例えば大小関係を(a_n), (b_n)の間に定義したい場合、「∀n∈N, a_n < b_n 」 であれば(a_n) < (b_n) だと自然に定義できます。しかしこんな事は稀。#NA_alg

V-alg-d（ZZ） @alg_d

そこでm' が登場です。 気持ち的には 「十分たくさんのnについて a_n < b_n」の時 (a_n) < (b_n) と定めるわけです。 #NA_alg

V-alg-d（ZZ） @alg_d

するとさっきの例(a_n) = (k) = (k, k, k, …) と (b_n) = (n) = (1, 2, 3, …) の場合明らかに 「高々有限個のn、即ち十分たくさんのn、 に対し a_n < b_n 」です。 なので (a_n) < (b_n) #NA_alg

V-alg-d（ZZ） @alg_d

同じように例に書いてある無限小 [(1, 1/2, 1/3, 1/4,... )] も説明できます。　即ち「任意の正数ε> 0 に対し 0 < [(1, 1/2, 1/3, …)] <ε 」 #NA_alg