自然数から四元数まで #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

Nに対して、N^-={-n|n∈N,n≠0}∪{0}を考える。つまりN^-とは「0以外の自然数に-という記号をつけたものと、0」である。-という記号がなんなのかはまだ言及しない。ただの記号である #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

Thx #N_to_H QT @t_uda:1 から始めた場合、順序の法則を上手く言えないというのがこの場合最も説得力がある。あとSuc が 2 加算のような場合でも半群として同型なのでどれを考えようが自然数として同型。普通この意味で、同型を除いて一意的に自然数を考えればいい。

くっちんぱ @kuttinpa

N^-の間の加法を、(-n)+(-m)=-(n+m)で定義する。ここで-0は0とする。これが和法則を満たすことは容易に証明できる。 #N_to_H .

くっちんぱ @kuttinpa

ペアノの公理5番から、数学的帰納法が使える RT @DDincrement: 簡約律って、この段階までで証明できるんだ。てっきり逆元定義した先かと思ってた。 #N_to_H QT @kuttinpa: このようにして定義された二項演

くっちんぱ @kuttinpa

ここで、Z=N∪N^-と定義する。Zの元は0,suc(0),suc(suc(0)),....と-(suc(0)),-(suc(suc(0))),.....である #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

Zの間の加法を次で定義する。1)Nの元同士、N^-の元同士であればそれぞれの方法で足す 2) m,n∈Nを用いてm+(-n)と書ける場合、ある自然数kが存在してm+k=nかn+k=mである。前者なら-k、後者ならkとする 3)(-m)+nと書ける場合2)と同様。 #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

するとこれは和法則を満たす。証明を書きたいが、さきほどの-0へのツッコミが入って用意していた証明が使えなくなった。 #N_to_H

DD++ @DDincrement

厳密性がどうかわからんけど、-0=0 を後から入るくらいなら、最初から入れて N^-={-n|n∈N,n≠0}∪{0} ではなく N^-={-n|n∈N} としてスタートした方がきれいに組み立てれそうだが、どうなんだろう #N_to_H

Tomoki UDA @t_uda

@kuttinpa N^- の定義として -N を採用すればいいじゃない。そうすれば何の説明もなしに自然に N^- の中での"加法"の演算は入れることはできるし。で、合併 N∪N^- を取るときに、 0 = -0 と同一視します、でおｋ。

くっちんぱ @kuttinpa

腹が立ったので以下のように定義を変える。N'={n'|n∈N,n≠0}として、Z=N∪N'であると定義。そして関数-：Z→Zを、-(0)=0、-(x)=x'、-(x')=xとする（ここでxは自然数）。-(x)を単に-xとも書く。完璧！ #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

この定義だと、-(-a)=aが使えるのでちょっとうれしい。 #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

重いので、先程のように定義されるZの間の加法が和法則を満たすことの証明はパス。また、積の定義も割愛。 #N_to_H あと@DDincrement サイトは探したけど見当たらないです、ごめんなさい

DD++ @DDincrement

これ、よく見ると定義が自己矛盾してる QT @kuttinpa: N'={n'|n∈N,n≠0}として、Z=N∪N'であると定義。そして関数-：Z→Zを、-(0)=0、-(x)=x'、-(x')=xとする（ここでxは自然数）。-(x)を単に-xとも書く。完璧！ #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

Z→Qを作る。 N^+=N＼{0} とし、Z×N^+={<p,q>|p∈Z、q∈N^+}の元<p,q>に次の大小関係を入れる：<a,b>≦<c,d>⇔ad≦bc m≦nかつn≦mをm=nの定義とする。 #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

.@DDincrement なるほど。 (xは自然数)のところを(xは０でない自然数)に変えておきます。 #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

このときの＝を別の記号に変えた方がいいのではないかとさんざん迷ったが、結局＝のままで行くことにする。 そして、Q=（Z×N^+）/＝で定義する。「同値類で割る」操作についての説明は割愛。高校生がんばれ！ #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

つまりQ={{<a,b>|<a,b)=<p,q>}|<p.q>∈Z×N^+}である。 Qの元をp/qと書くことにする。つまりp/q={<a,b>|<a,b)=<p,q>}である。 #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

つまりQ={ {<a,b>|<a,b)=<p,q>} | <p.q>∈Z×N^+}である。 Qの元をp/qと書くことにする。つまりp/q={<a,b>|<a,b)=<p,q>}である。 #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

Qの間の加法と積を、(a/b)×(c/d)=ac/bd、(a/b)+(c/d)=(ad+bc)/bdで定義する。和法則、積法則の証明は割愛する。これで有理数の定義が完成した。 #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

さて、Q→Rを考える。ここから先は全く用意してないので手探りである。 #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

いまからQ→Rをやる。方向性としては、デデキントの切断を使うか、完備化を使うかのどちらかなのだが、「有理数だと何がこまるの？」という流れから説明を続けたいので、完備化から行くことにする。 #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

「完備化が可能」の証明に「実数が完備」をつかってて、有理数の完備化ができないなう #N_to_H

Kojima @t33f

Z->Q でどうせ商集合の概念を使うなら N->Z も商集合でやればいいのでは，とか思ったけどめんどくさいんだっけ。 #N_to_H

くっちんぱ @kuttinpa

<a,b>と<c,d>の大小をa+dとb+cの大小で決めるんでしたっけ？ RT @t33f: Z->Q でどうせ商集合の概念を使うなら N->Z も商集合でやればいいのでは，とか思ったけどめんどくさいんだっけ。 #N_to_H

tomo🐧@learning @cocoatomo

a-b = <a, b>RT @kuttinpa: <a,b>と<c,d>の大小をa+dとb+cの大小で決めるんでしたっけ？ RT @t33f: Z->Q でどうせ商集合の概念を使うなら N->Z も商集合でやればいいのでは，とか思ったけどめんどくさいんだっけ。 #N_to_H