『Henle集合論』勉強会・第2章

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】Henle本p15、リード文で「無限を扱うには公理が足りないから、最初にひとつ要請しとくよ」とあって、直後にS(x)=x∪{x}が定義されてて、それだけでもう新規の公理のことを忘れる記憶力（汗）「Infinity:」以降は公理ですね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】Henle本p15、無限公理(3)「y≠φ」のφは空集合の記号の誤植ですね（他の箇所はØになってる）。でもツイートでは表示されないかも知れないから以降はφを使おうしらん。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

やっぱり集合論の先生はみんなBOØWYの話しはるんですか

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】Henle本p15、S(φ)=φ∪{φ}={φ}、S(S(φ))=S(φ)∪{S(φ)}={φ}∪{{φ}}={φ,{φ}}、S(S(S(φ))=S(S(φ))∪{S(S(φ))}={φ,{φ}}∪{{φ,{φ}}}={φ,{φ},{φ,{φ}}}、この実験は必修！

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】「問題、S(S(S(...S(φ)))) (Sがn回)の要素数は？」と聞かれると、2の何乗とか答えてしまいそう。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】（つづき）ほんとの答はn個だが、その根拠は……えーと、{x}は唯一の要素xを持つ。一方、定理1.4から、xがx自身を要素に持つことはない。だからxと{x}は共通の要素を持たない。なのでx∪{x}はxに比べて要素が1個だけ多い、と。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】これは昔から切実な疑問なんだが、これから自然数を集合で書き表そうとしてるのに、集合の要素の個数とか考えてもいいの？ゲーデル数なんかもそうだけど、ほんとにほんとに分からん。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】だいたい、1個の定理の証明を1時間くらいノンビリ考えてる。証明できることを目標にするんじゃなくて、「証明できなくても最低限やんなきゃいけないこと」をやるのにそれくらい掛かるんだ。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】正則性公理って何だか凄い威力だな。こんなの考えた人、天才じゃないか？（そりゃそうだ）

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】Henle本p16、定理2.2、むぅ、ヒント見ても分からん・・・

トムクルーズ @tomcru_

我々は元々自然数について一定の理解を持っているのであって、それを集合論で解明すると考えれば、循環にはなっていないのではなかろうか。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@silver_pork 【集合論】ご意見ありがとうございます。例えば集合の要素の個数について数学的帰納法を用いて証明しても構わないのか？とか、どこまで自然数の性質を使っていいのか判断基準はあるのだろうか？とか変なことばかり気になっちゃうのです・・・

トムクルーズ @tomcru_

@y_bonten 具体的にどの証明が問題に成るかによるでしょうが、とりあえずは、自然数の振る舞いについて我々は理解しているので、その性質は使っていいことにして、特定の集合を自然数とみなせることを示すことで、我々の自然数理解を解明する、というルートで考えれば、

トムクルーズ @tomcru_

@y_bonten とりあえずは問題はないのではないでしょうか。もちろん、このままでは粗い話でしかないので、真面目に集合論の哲学的意義を考えようとすれば満足な答えではないでしょうが。

トムクルーズ @tomcru_

ロジックや集合論に循環を感じる人って結構多いんだな。俺は哲学徒の癖に鈍感だな。だめだな。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@silver_pork 【集合論】なるほど、ありがとうございます。とりあえず我々が知っている自然数の振る舞いについて「こっちは使っていいけどあっちはダメね」という差別を設けずに済むのであれば、「後でまとめて考える」ことも可能ですね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】Henle本定理2.2（無限公理によって存在が保証される集合が一意であることの証明）、やっとの思いで証明ができた。解答も理解したが、リファクタリングしたいところ。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】（つづき）正則性公理を用いるときにいちいち集合を取らないといけないのが気に入らないんだな、きっと。論理だけで済ませてしまいたい。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

誤った理解をしていたことを隠しようのないログとして、twitterをフル活用している。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】ZFにおいて集合をなすと言えるかどうか分からない「集まり」を指す言葉がないと不便だなぁと感じていたが（「ラッセル集合」とかほんとは呼びたくないないよね）、それに該当するのがcollectionか。Henle本だけなのか一般的な用語なのか知らないけれど。

黒ごまのかき氷 @hymathlogic

@y_bonten collectionも使いますが、classが普通のような？

@tenapi

@hymathlogic @y_bonten ことZFに関する限り、class というのはV上一階論理で定義可能な collection という意味に限定されると思ったほうがいいです。collection あるいは aggregation というのがより一般的かと思います。

黒ごまのかき氷 @hymathlogic

@tenapi @y_bonten なるほど、classと言う時は暗黙のうちにその定義式を仮定してるというか、定義式の言い換えがクラスだと、なるほど。そうですね。そんな気がしてきました。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@hymathlogic @tenapi ありがとうございます。内包の公理はすべてのclassがsetであると保証する、分出公理はclassの一部がsetであることを保証する、という理解で良いでしょうか。

@tenapi

本来ZFは集合を表す変数のみで書かれていてクラスへの言及は公式見解としては一切ありません。便宜的にクラス表記を導入しても、そのことが、除去可能な「定義による理論の拡大」になっていなければならないので、いきおい「クラス」は「定義可能なクラス」と同義になります。