lim記号と「定義による拡大」

@tenapi

また上から湯呑み。

せなまめ @senamame

「f はX×Yの部分集合で写像の条件を満たすときに (x, y) ∈ f ⇔ f(x) = y と定義する」も，よく考えてみると，左側のfと右側のfは述語論理上は別物？

せなまめ @senamame

逆にしちゃった

嘉田 勝 @kadamasaru

（1÷0 や lim もそうだけど、拙著9章で sup, inf, max, min について書くときもけっこう悩んだ。←「定義による拡張」の話題）

@tenapi

@senamame この場合は、何か(何か) で別の何かを指示するカッコの新しい用法が導入され、構文規則が拡張されたとみるべきでしょうね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@ta_shim_at_nhn @senamame そうなのですね。初歩の解析では一意性の証明がネックになるために、そのあたりが曖昧になるのかもしれませんね。

鏡 弘道 @kagami_hr

1÷0 を怖がりすぎて (それは間違えてはいない) 最近まで 0:1 は定最され 1:0 も未定義と考ていた。実は 1:0 も比としては定義可能であり私の認識の誤りは殿下に射影空間の例を指摘して頂き修正出来た。

@tenapi

@kagami_hr ひひひひ比

せなまめ @senamame

¬ ∃x∈R (/(1,0) = x)

@tenapi

@y_bonten @ta_shim_at_nhn @senamame しむらさんのおっしゃる通りにわたくしも授業で話し、関数や演算の記号を導入するときの一般的な注意点がここに潜んでいることを示唆するようにしています。

せなまめ @senamame

@tenapi 構文規則を導入 とは，固有の公理として認めるということでしょうか？ただ，先ほどの例だと左側のfを変項，右側のfを2変数関数記号（または2項演算子）と考えると，同じfを使っているのは問題な気もします

せなまめ @senamame

@tenapi （1変数でした）

@tenapi

@senamame 本来なら、集合としての関数の値を取り出す演算を例えば appl(a,b)のように導入して、〈x,y〉∈ f をみたす y がただ一つ存在するときだけ、その y をあらわす appl(f,x) という対象式を使ってよい、としたほうが首尾は一貫しますね。（続く

@tenapi

つづき）その場合の関数記号はapplであって f ではありません。これはわかりますよね？ ではf(x)はどうかというと、これは二変数 f と x の演算を表現しているとでも考えないと仕方がないです。用法はappl(f,x)そのもので、見えない関数記号applが隠れている。

大上丈彦 @otakehiko

@tenapi @senamame @y_bonten まさに興味深い話です。殿下のコメントまで込みで、この会話まるごとどこかに保存しておきたい。(個人的にはすでに実行した)

@tenapi

導入されたのは関数記号 f ではなくて、ふたつの対象式 f と x からいまひとつの対象式 f(x) を作る構文規則のほうです。

せなまめ @senamame

@tenapi ありがとうございます．ということは説明の立場からすれば，f(x) は記号の（便利だし認めるけど）乱用と考えて問題ないですか？

@tenapi

（例えば集合Gの要素全部の和集合が一つの関数になる場合に、定義域の要素 x におけるその値を (∪G)(x) と書く、なんてこともよくあるし）

@tenapi

@senamame そういうことです。慣例でもあり便利なんで使っていますが、実は長い注釈がいるのかもしれません。

せなまめ @senamame

@tenapi 勉強になります！ご教授ありがとうございます

せなまめ @senamame

今日は，日頃の疑問を先生方に教えていただいて，本当に感謝である

せなまめ @senamame

高校数学に毛が生えた程度の知識で厳密なことを考えようとしてもんもんmとして，周囲の人に聞いても理解はしてもらえても助言や回答をもらえることは少ない．今日は泣くほどに感激している

@ta_shim_at_nhn

学部の卒業研究のときに、公理的集合論では f が何であっても f(x) を ∪ ran(f ∩ ({x}×V)) (だったかな) と定義してしまえば f が関数のときはちゃんと欲しいものになると言っていた人がいました。