トイレットペーパーの微分方程式
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Fujii Ryoichi
@ffi
昨日トイレットペーパ見ながら気付いたのだけど、あれ使うほど半径が短くなるから円周も短くなるんだよなー、と。このとき半径の長さの変化はどういう式で表されるか。
2013-10-12 09:15:581日たってもまだ考えている。
Fujii Ryoichi
@ffi
トイレットペーパを使用するたびにトイレットペーパの太さ（半径）は減るから、円周も当然減っていく。 円周の長さの減少と、円の半径の減少は、どのような式で表されるか。昨日から考えてるけど、一次か二次かもよくわからない。微分の問題になるのかな。。
2013-10-13 16:18:40
Fujii Ryoichi
@ffi
@otoufu793 なんかそんな気がするなあと思っていたのですが、やはり微分方程式。そうすると私の知識レベルでは教材なしにはわからないです。。
2013-10-13 16:51:22
おとうふ
@otoufu793
ネコと遊びながら、トイレットペーパーの半径の単位時間あたりの変化量と時間の式どうやってたてようかなーって悩んでて、けっきょく、一定速度でトイレットペーパーを巻き取っていくときの半径の減少量って感じの式をたてることに。
2013-10-13 18:52:35
おとうふ
@otoufu793
買ってきた状態で半径r_0（下付きのゼロ）,n回巻きのトイレットペーパーをローラーにセットして、一定速度cで無心に巻き取っていく。時間が進んでどんどん巻き取っていくとトイレットペーパーの半径rは小さくなっていく。面倒なので公衆トイレとかによくある芯がないロールで計算した。
2013-10-13 18:58:21
おとうふ
@otoufu793
こんな感じで微分方程式をたてました。？マークがあるのは、単位時間あたりに何巻き分を巻き取ったかを求めるのに「これくらい近似してもいいんだっけ？」っていう気持ちを表しています。たぶんいい。はず。 http://t.co/dnr8XqSpiD
2013-10-13 19:09:47
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おとうふ
@otoufu793
続き。四角で囲ってある式が、トイレットペーパーの半径rと巻き取り時間tの式です。たぶんそんなに違わない…と思う…（さっきアップした写真の一番下の行が違ってたのでのぞいてもう一度）。 http://t.co/ZtBj0lLW8t
2013-10-13 19:30:58
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おとうふ
@otoufu793
なお、ctっていうのは時間tまでに巻き取った紙の総長さになるので、「それまでに使った紙全部の長さとトイレットペーパーの半径が無理関数の関係になる」ってことでいいような…。
2013-10-13 19:39:25
おとうふ
@otoufu793
一枚アップしてなかった。トイレットペーパーの半径rと巻き取り時間tのグラフ及び総使用量と半径rのグラフ。 http://t.co/g8G3f78cDJ
2013-10-13 19:52:22
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おとうふ
@otoufu793
グラフを見ると、紙をどんどん巻き取っていくと最後半径の減りが急に激しくなっていってぱたっと紙がなくなる。体感と一致していますね。
2013-10-13 20:02:28
Fujii Ryoichi
@ffi
係数に r_0 が含まれるのちょっと不思議な感じもしたけど、それこそ終わりかけのロールにおける r_0 のことを思うと納得しやすい。 #トイレットペーパの微分方程式
2013-10-13 21:06:46
おとうふ
@otoufu793
@ffi あ、微分方程式やってましたか、なんとなくツイートで文系かも？ って印象が前からあったこともあり最後の結論がわかれば程度の書き方しました。ちょっとだけ一応解説すると、一番最初の式は、半径rがΔrだけ変化するのにΔt秒かかったとしたときのΔrとΔtの関係を式にしたもので、
2013-10-14 00:13:04
おとうふ
@otoufu793
@ffi （半径の減少量Δr）＝ー（紙の厚さ）×｛（Δt秒間で巻き取られて減った紙の長さ）/（半径がrの時の円周の長さ）｝という式です。｛ ｝内はつまりΔt秒の間にトイレットペーパーのロールが何巻き分巻き取られて減ったか（初期値n回巻であるロールです）という意味のつもりです。
2013-10-14 00:15:04
おとうふ
@otoufu793
@ffi 厳密には｛ ｝内後半の（半径がrの時の円周の長さ）って部分はΔrを含む値にすべきなのですが、このあとΔtを無限小にして微分方程式を立てることから2πrと近似可能です。たぶん。きっと。わたしの印象っていうか手応え的に（説明になっていない）。以上気が向いたら読んで下さい。
2013-10-14 00:18:10
市川絡繰
@awajiya
昔の人は，よくカセットに俺ベスト集を録音したものですが，「もう2曲ぐらい行けるかな」と思ってると最後が切れて間抜けなことになったりしたもので @otoufu793
2013-10-13 20:07:46
おとうふ
@otoufu793
@awajiya あ、ロールを一定速度で巻き取っていくっていう状況は確かにカセットテープそのものですね、気づかなかった。最後途切れるとがっくりきて上から消して短い曲入れ直したりして。
2013-10-13 23:33:31