数学問題bot略解集
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数学問題bot
@mathematics_bot
【お知らせ】数学問題ボットの解答は公式では用意していませんが、鳴滝氏による非公式の解答ページがありますので参考にどうぞ。 http://math.iza-yoi.net/bot/
2011-08-12 21:15:19
しゃいたん
@faogr
基本的に http://math.iza-yoi.net/bot/ に載ってないやつか，載っていても解き方が違うやつをつぶやいているつもり．
2010-11-07 18:39:05解答ページは凍結されちゃってるみたいです．
今後は解答があったかどうかにかかわらず追加する予定．
略解
数学問題bot
@mathematics_bot
次の値(a^2)/(2ab^2-b^3＋1)が正整数になるような、正整数の組(a,b)を全て求めよ。（０３国際数オリ） #数学
2013-06-05 09:34:16[1]b=1のとき
a^2/(2ab^2-b^3+1)=a^2/2なのでaが偶数ならば適する．
つまり(2k,1)．
[2]b>1のとき
a^2/(2ab^2-b^3+1)=nとする．
4(a-nb^2)^2 = 4(n^2b^4-nb^3+n) = b^2(2nb-1)^2-b^2+4n
ここで，
b^2(2nb)^2=b^2(2nb-1)^2+2b^2(2nb-1)+1>(右辺)
b^2(2nb+2)^2=b^2(2nb-1)^2-2b^2(2nb-1)+1<(右辺)
より4n=b^2．
従って
4a^2=b^2(2ab^2-b^3+1)
なので2a=mbとおける．
両辺b^2で割ってm^2=(m-1)b^3+1なので
m=1,b^3-1
(i)m=1のとき
a^2/(2ab^2-b^3+1)=a^2なので適する．
よって(k,2k)．
(ii)m=b^3-1のとき
a^2/(2ab^2-b^3+1)=a^2/(2ab^2-2a/b)=a^2/(2a/b)^2=b^2/4なので
bが偶数のときに適する．
よって(8k^4-k,2k)
以上をあわせて(2k,1),(k,2k),(8k^4-k,2k) (k=1,2,…)．
数学問題bot
@mathematics_bot
a＞0,b＞0,c＞0でa^2＋b^2=c^2のとき、１）a＋b＞c、２）a^5＋b^5＜c^5を示せ。（第２回北海道高校数学コンテスト） #数学
2013-04-02 00:34:12a,b,c>0だからb^2<c^2よりb<c．同様にa<c．
1)a+b>(a^2+b^2)/c=c
2)a^5+b^5<c^3(a^2+b^2)=c^5
(別解)
a≧bとする．
f(x)=x^pとおくと
c^(2p)-{a^(2p)+b^(2p)}
={f(a^2+b^2)-f(a^2)}-{f(b^2)-f(0)}
=b^2{f'(x)-f'(y)}
=b^2(x-y)f''(z)
(0<y<b^2≦a^2<x<a^2+b^2, y<z<x)
であり，p=1/2,5/2の場合を考えて，示すべき不等式を得る．
数学問題bot
@mathematics_bot
ある整数を１４で割った商は整数、余りは０以上１４未満の整数とする。ａは１４で割ると６余る整数、ｂは１４で割ると１余る整数である。二次方程式x^2-2ax＋b=0が整数解を持つとき、整数解を１４で割った余りを求めよ。（０６慶應） #数学
2013-03-07 18:34:46整数解をnとすると(n-a)^2=a^2-bであり，これを14で割った余りは7．
これよりn-aは7の倍数かつ奇数，つまり14で割った余りが7なのでnを14で割った余りは13．
数学問題bot
@mathematics_bot
p^2-q＝2*qCr＝3(2r＋1)＋s^2 を満たす素数p,q,r,sの組を求めよ。（nartakio様） #数学
2012-04-29 11:45:38
しゃいたん
@faogr
中辺=右辺>3よりq>rなので左辺=中辺=2q/r*C[q-1,r-1]がqの倍数よりq=p．mod 3で左辺≡0,2，右辺≡0,1よりs≡0つまりs=3．p(p-1)=6(r+2)よりpはr+2の約数なので(p=q>rに注意して)p=r+2．ゆえにq=p=7,r=5．
2012-05-24 04:07:38
数学問題bot
@mathematics_bot
子供たちが鬼ごっこをする。子が１ｍ以内の好きな場所に移動し、次に鬼が１ｍ以内の好きな場所に移動…と交互に動く。１）子・鬼１人ずつが半径10ｍの円の中で鬼ごっこをする。初め鬼が円の中心に、子が円周上にいるとすると鬼は子を捕まえられるか。（後略）（０６日本数学コンクール） #数学
2012-04-21 17:45:03
しゃいたん
@faogr
中心をO，n回動いた後の鬼の位置をP_n，子の位置をQ_nとおき，線分Q_nO上にP_nがあるとする．∠Q_nOQ_{n+1}=θとしてf_±(x)=xcosθ±√(1-(xsinθ)^2)とおくとf_-(OP_n)≦OQ_{n+1}≦f_+(OP_n)のときは捕まえられる．
2012-05-24 03:48:01
しゃいたん
@faogr
捕まえられない場合はf_-(OP_n)<f_-(OQ_n)≦OQ_{n+1}よりf_+(OP_n)<OQ_{n+1}である．OQ_{n+1}上でOP_{n+1}=f_+(OP_n)となるようP_{n+1}をとる．∠OQ_nQ_{n+1}=φとおき，
2012-05-24 03:48:04
しゃいたん
@faogr
OQ_n上に∠OP_nR=max{φ,π-φ}となるようRをとると，P_nR<Q_nQ_{n+1}≦1なので，∠OP_nP_{n+1}>∠OP_nR≧π/2であるからOP_{n+1}≧√(OP_n^2+1)となる．これらより十分大きいnで捕まえられる．
2012-05-24 03:48:07
数学問題bot
@mathematics_bot
２つの三角形が内部の点を共有していないとき、これらの三角形は内素であるとする（境界上の点は共有可）。面積Sの任意の凸四角形に含まれる内素な２つの三角形T1,T2の面積についてT1=T2≧4S/9なるものが存在することを示せ。（第18回シュプリンガー数学コンテスト） #数学
2012-04-19 10:45:17
しゃいたん
@faogr
適当な方向に拡大縮小の変換を複数回施し，頂点ACBDを(a±1，0)，(b±1，0) (0≦b≦a<1)とおく．この条件でT1,T2を構成し逆変換を行う．Aと(b,0)を結ぶ直線x/(a+1)+y/b=1とBCの交点Pのx座標は((b+1)/(a-1)-b/(a+1))x=1より
2012-05-22 04:24:26
しゃいたん
@faogr
x=(a^2-1)/(a+2b+1)≦(a^2-1)/(3a+1)=(3a-1)/9-8/(9(3a+1))である．△APB,△APDをT1,T2とするとT1=T2であり，T1/S=(8/(9(3a+1))+2(3a+1)/9+8/9)/4≧4/9．等号成立はa=1/3．
2012-05-22 04:33:31「適当な方向に拡大縮小の変換を複数回施し」というのは，
(i)対角線のなす角がπ/2となるように対角線のなす角の二等分線方向への拡大縮小
(ii)対角線どうしの長さが等しくなるように対角線方向への拡大縮小
を順次施すものである．
この変換で四角形および三角形はそれぞれ四角形および三角形に移り，面積比は変化しない．
数学問題bot
@mathematics_bot
平面に同一直線上にない３点A,B,Cをとり、AB=3,BC=1,AC=tとする。また直線ACに関してBの反対側に点Dをとり、CD=2とする。（中略）３）四角形ABCDの各辺がひとつの共通の円に接しているとき、その円の半径の最大値を求めよ。（１１慶應医） #数学
2012-04-25 12:45:27
しゃいたん
@faogr
円に外接してるのでAD+BC=AC+BDよりAD=4．cos∠A=x,-cos∠C=yとおくと，余弦定理より25-24x=5+4y．面積は6√(1-x^2)+√(1-y^2))≦7√(1-((6x+y)/7)^2)=2√6 (∵√(1-x^2)は上に凸)等号成立はx=y=5/7．
2012-05-22 03:33:22
数学問題bot
@mathematics_bot
３以上の自然数nに対して、一辺の長さが1の正方形に含まれる面積最大の正n角形の面積をSnとする。S3とS6を求めよ。（近畿大学第９回数学コンテスト） #数学
2012-03-12 02:45:53
しゃいたん
@faogr
三角形の一辺(長さaとする)と正方形の一辺のなす角のうち最小のものをθとすると，0≦θ≦π/12．a≦secθ≦sec(π/12)=√6-√2．等号が成立するような配置は可能(図省略)でS3=2√3-3．同様に六角形の対角線の長さの最大値も√6-√2なのでS6=3√3-3/2．
2012-05-21 16:46:50