数学問題bot略解集
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数学問題bot
@mathematics_bot
方程式sinx＋cosx=cos2xの解xで0°≦x＜360°を満たすものを全て求めよ。（０５学習院・経） #数学
2012-02-25 11:45:52
しゃいたん
@faogr
(sinx+cosx)(1-cosx+sinx)=0より，sin(x+45°)=0又はsin(x-45°)=-1/√2．これよりx=0°,135°,270°，315°．
2012-03-13 06:05:46
数学問題bot
@mathematics_bot
３個のサイコロA,B,Cを同時に投げて出る目の数をそれぞれa,b,cとし、aとbの最大値をXとおき、さらにXとcの最小値をYとおく。１）Y=3となる確率を求めよ。２）Yの期待値を求めよ。（０６学習院・経） #数学
2012-03-06 04:45:40
しゃいたん
@faogr
Y≧kとなる確率P(k)は(a≧k又はb≧k)かつc≧kとなる確率なのでP(k)=(2-p)p^2，但しp=(7-k)/6．(1) P(3)-P(4)=47/216 (2) 期待値はΣk(P(k)-P(k+1))=ΣP(k)=Σ(2-k/6)(k/6)^2=217/72．
2012-03-13 06:05:13
数学問題bot
@mathematics_bot
nは3以上の自然数とする。n×nの盤上にオセロの駒がすべて黒を上にして敷き詰められている。この状態から「縦または横に連続する３つの駒を選び、現在の状態から裏返す」操作を好きなだけ行なってすべて白が上になるように出来るnはどのような値か。（nyoki1007様） #数学
2012-03-05 20:45:12
しゃいたん
@faogr
nが3の倍数ならば可能．nが3の倍数でないとき，i行j列の駒をi+jを3で割った余りで分類し，それぞれA0,A1,A2とする．一回の操作でAkの駒一つが裏返るので，Akの駒を全て白にする操作の回数の偶奇はAkの駒の数の偶奇と同じ．A2の駒の数は奇数，A0の駒の数は偶数なので不可．
2012-03-15 02:07:08
数学問題bot
@mathematics_bot
0≦x≦1に対してf(x)=∫[0,1]e^(-|t-x|)･t(1-t)dtと定める。ただしe=2.718…は自然対数の底である。（中略）f(x)はx=1/2で極大になることを示せ。（１０北大・理） #数学
2012-02-27 04:45:14
しゃいたん
@faogr
x≦1/2としてよい．g(t)=e^(-|t-1/2|)-e^(-|t-x|),h(t)=t(1-t),a=x/2+1/4,b>0として，-g(a-b)=g(a+b)>0，h(a-b)<h(a+b)なのでf(1/2)-f(x)≧∫[-a,a]g(a+t)h(a+t)dt≧0.
2012-03-06 04:34:16
数学問題bot
@mathematics_bot
xy平面上の円C:x^2＋y^2＝3上に2点A(0,√3),B(0, -√3)。点P(0,√2)を通る直線と円Cの交点をQ,R。ただし点Rは第一象限、∠APR=θ[0＜θ＜π/2]。（中略）四角形AQBRの面積をS(θ)とし2√3＜S(θ)なるθの値の範囲を求めよ（０６金沢・理）
2012-02-29 08:45:55
しゃいたん
@faogr
OからQRに下ろした垂線の足をHとするとOH=OPsinθなのでQR=2√(3-2sin^2θ)．S(θ)=AB・QRsinθ/2=2√3*sinθ√(3-2sin^2θ)なので，2√3<S(θ)を解いてsinθ>1/√2つまりπ/4<θ<π/2を得る．
2012-02-29 11:56:07
数学問題bot
@mathematics_bot
（前略）a,b,cをそれぞれ正の実数とするとき{3-(1/a＋1/b＋1/c)}/(a＋b＋c)の最大値を求めよ。またそのときのa,b,cの値を求めよ。（第３回北海道高校数学コンテスト） #数学
2012-02-24 06:45:34
しゃいたん
@faogr
相加平均をM，調和平均をmとおくと，(与式)=(1-1/m)/M≦(1-1/M)/M=1/4-(1/M-1/2)^2≦1/4．等号成立はそれぞれa=b=c,M=2．つまりa=b=c=2のとき最大値1/4をとる．
2012-02-24 08:05:34
数学問題bot
@mathematics_bot
差が2の2つの素数の組を双子素数という．円に内接する四角形ABCDにおいて，CD/ABとDA/BCが双子素数であるならば，BD/ACは自然数であることを示せ．（nyoki1007様） #数学
2012-02-21 13:45:31
しゃいたん
@faogr
CD/AB=p,DA/BC=qとおき，BDとACの交点をPとする．AP:PC=△ABD:△CDB=q:p，BP:PD=△ABC:△CDA=1:pq．方べきの定理よりAP・PC=BP・PDなのでAP:PC:BP:PD=q:p:1:pq⇒BD/AC=(1+pq)/(p+q)．以下略．
2012-02-22 02:13:34
数学問題bot
@mathematics_bot
f(x)は実数全域で狭義単調増加する連続関数であり，任意の整数nに対してf(n)=nを満たす．f(x)の逆関数をg(x)とするとき，任意の実数xに対し2x-1<∫[t=x,x+1]{f(t)+g(t)}dt<2x+3を示せ．（nyoki1007様） #数学
2012-02-04 01:45:16
しゃいたん
@faogr
中辺=Iとおく．g(x)も狭義単調増加の連続関数で任意の整数nに対しg(n)=n．1°f(x)≧xとして一般性を失わないがg(x)≧g([x])=[x]>x-1よりI>2x-1．2°f(x+1)≦x+1として，g(x+1)<g([x]+2)=[x]+2≦x+2よりI<2x+3．
2012-02-04 17:18:34
数学問題bot
@mathematics_bot
円C:x^2＋y^2=1,楕円E:x^2＋(y^2)/2=1,C上の点P(s,t)におけるCの接線をlとする。t>0とし、Eがlから切り取る線分の長さをLとする。（中略）Lが最大値を取るとき、lとEが囲む領域のうち原点を含まない領域の面積Aの値を求めよ。（１０東京医科歯科）
2012-02-03 12:45:06
しゃいたん
@faogr
y軸方向に1/√2倍する変換を考えると，EはC，lはm:sx+√2tyに移る．Cがmから切り取る線分の長さはM=2√(1-1/a) (a:=s^2+2t^2>1)．この線分のx,y軸への正射影の長さp,qはそれぞれ√2tM/√a,sM/√aである．L=√(p^2+2q^2)より，
2012-02-04 16:39:03
しゃいたん
@faogr
L=M√(2/a)=2√2√((1-1/a)1/a)≦√2，等号成立は1-1/a=1/aつまりa=2なので，t=1のときLは最大．この時，変換後の領域は半径1中心角π/4の扇型から斜辺√2の直角二等辺三角形を除いたものなので面積はπ/4-1/2．よってA=√2(π/4-1/2)．
2012-02-04 16:39:15
数学問題bot
@mathematics_bot
放物線y＝x^2上を3点A,B,Cが、次の条件１）AC＝1 ２）(Aのx座標)＜(Bのx座標)＜(Cのx座標)を満たしながら動く。このとき、△ABCの面積の最大値を求めよ。（nartakio様） #数学
2012-01-30 03:45:17
しゃいたん
@faogr
A,B,Cのx座標をa,b,cとおく．x>0でy=x^3は下に凸であることに注意して，(△ABCの面積)=((c-a)^3-((b-a)^3+(c-b)^3))/6≦(c-a)^3/8≦1/8．等号成立は2b=a+cかつc-a=1，すなわちa=-1/2,b=0,c=1/2のとき．
2012-02-02 16:03:53
しゃいたん
@faogr
A,B,Cのx座標をa,b,cとおく．Bにおける接線の傾き2bがACの傾きa+cと等しいとき面積最大．このときACの中点をMとしてMB=(a^2+c^2)/2-b^2=(c-a)^2/4より面積は(c-a)^3/8≦1/8で等号成立は-a=c=1/2のとき．
2012-02-02 16:03:50
数学問題bot
@mathematics_bot
１個のサイコロを８回投げ４以下の目がちょうど３回出たときについて、n回目に初めて４以下の目が出たときに得点nが与えられるとする。４以下の目が出た回数がちょうど３回にならないとき得点を0とする。得点の期待値を求めよ。（１１センター数学１Ａ） #数学
2012-02-01 13:45:37
しゃいたん
@faogr
4以下の目がちょうど3回出たときを考える．m回目に二番目の4以下の目が出る場合，この確率をp_mとすると対称性よりΣmp_m=9/2，nの期待値はm/2．4以下の目がちょうど3回出る確率をPとすると求める期待値はPΣm/2p_m=9/4P．(計算略)
2012-02-01 14:14:28
数学問題bot
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座標平面上の１点P(1/2,1/4)をとる。放物線y=x^2上の２点Q(α, α^2),R(β, β^2)を、３点P,Q,RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき、△PQRの重心G(X,Y)の軌跡を求めよ。（１１東大・文理共通） #数学
2012-02-01 02:45:45