変分法でオイラー・ラグランジュ方程式を出すときに端点の条件は必要か？

TANIMURA Shogo @tani6s

ハミルトン形式は、q を両端固定して、間の時刻の p,q や両端時刻の p まで変分させると、結果的に両端の p の値も決まる、という仕組みですね。@ayumu_sugita @irobutsu @gandhara16

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

ああそうかそうですね。端点でのδqが0でなく、しかし変分が0なら、端点に余計な条件が残る場合がある。そういう端点条件が欲しい場合ならいいけど、普通はそうじゃない、と。 @ayumu_sugita @tani6s @gandhara16

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

ああそうかそうですね。端点でのδqが0でなく、しかし変分が0なら、端点に余計な条件が残る場合がある。そういう端点条件が欲しい場合ならいいけど、普通はそうじゃない、と。 @ayumu_sugita @tani6s @gandhara16

TANIMURA Shogo @tani6s

「運動方程式が出れば十分、という立場からすれば、端点 p,q のすべてを固定してもよいですが」ではないですか？ @ayumu_sugita @irobutsu @gandhara16

TANIMURA Shogo @tani6s

「実際に解が存在するような条件を考えたいなら、端点の座標の半分は固定せず、変分を許す必要があります」ではないですか？ 厳密さにこだわりますが。@ayumu_sugita @irobutsu @gandhara16

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

と、ここまで考えた後で自分の本を読み直すと（今かよ）、端点固定については、 この条件をつけなかったら、運動は一つに決まらない（中略）問題を「答のある問題」にするためには、最初と最後を変えるわけにはいかない。 と書いてある。

杉田歩 @ayumu_sugita

@tani6s @irobutsu @gandhara16 ああ、ハミルトン形式ならそうです。さっきのツイートはラグランジュ形式で考えていたので。

Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16

わ，席をはずした間にすごく盛り上がってる。 湯川さん，ご無沙汰です。 全部リツイートすると興味ないひとに迷惑でしょうから，興味あるひとはアカウント名で検索してください。@tani6s @ayumu_sugita @irobutsu @s__w

Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16

たしかに，問題提起がイマイチでした。もっとしぼって「ここ hooktail.sub.jp/analytic/verif… にあるような解説をするときに，式６の第一項を落とすのには端点の条件はいらない」だったら正しい？　@tani6s @ayumu_sugita @irobutsu @s__w

杉田歩 @ayumu_sugita

@gandhara16 @tani6s @irobutsu @s__w 「任意のδqに対して変分が０なら、端で0になるようなδqに対しても変分０→必要条件として、式６の第一項を落とした形が成立しなければならない→（必要条件としての）運動方程式」は正しいです。

杉田歩 @ayumu_sugita

@gandhara16 @tani6s @irobutsu @s__w しかし、端で０にならないようなδqに対しても変分が０という要求をすると、運動方程式以外の余分の条件も出てきてしまうので、一般にはそのような解は存在しません。要求し過ぎになってしまう。

TANIMURA Shogo @tani6s

「式6の第1項を落とすためには、q の端点固定条件が十分」という言い方なら正しいですよね（当然すぎ）。でも他の条件でも「式6の第1項を落とす」ことはできますよ。 @gandhara16 @ayumu_sugita @irobutsu @s__w

TANIMURA Shogo @tani6s

あるいは、始点と終点における δL/δ\dot{q} がゼロで、始点と終点における変分 δq が好き勝手な値でも、式6の第1項はゼロになります。波動で言えば、自由端境界条件です。 @gandhara16 @ayumu_sugita @irobutsu @s__w

TANIMURA Shogo @tani6s

ラグランジュ形式の場の解析力学では、場の境界条件を課して変分法によって波動方程式を導くとき、端点固定以外のいろいろな条件を使い分けていますよ。境界条件をうまく課したとき解の存在と一意性が言えます。@gandhara16 @ayumu_sugita @irobutsu @s__w

TANIMURA Shogo @tani6s

境界条件をきつくしすぎると解の存在が言えなくなるし、緩くしすぎると解の一意性が言えなくなります。理に適っているでしょう。@gandhara16 @ayumu_sugita @irobutsu @s__w

TANIMURA Shogo @tani6s

ハミルトン形式の変分法の両端条件は q固定と p自由というところが釣り合いが悪いですね。正準変換は q,p を対等の立場で扱うように見えるのに。でも、ハミルトン形式ってそういうものだと思いますよ。@gandhara16 @ayumu_sugita @irobutsu @s__w

杉田歩 @ayumu_sugita

@tani6s @gandhara16 @irobutsu @s__w そういうことですね。変分法の解は、一般に「運動方程式＋境界条件」の形で規定されていて、ただ運動方程式を出したいだけなら端のことは考えなくてよい。具体的な解の集合を考えたいなら端にも注意しろ、と。

TANIMURA Shogo @tani6s

前野さん、中村さん、杉田さん、湯川さん、面白い問題提起ありがとうございました。@irobutsu @gandhara16 @ayumu_sugita @s__w

杉田歩 @ayumu_sugita

@tani6s @irobutsu @gandhara16 @s__w こちらこそ、ありがとうございました。

Satoshi Yukawa @s__w

@tani6s @irobutsu @gandhara16 @ayumu_sugita こちらこそ、どうもありがとうございました。理解が深まりました。

Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16

また席をはずしたあいだに話が収束しましたね．これですっきりしました．みなさん，ありがとうございました． @ayumu_sugita @tani6s @irobutsu @s__w

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@gandhara16 @ayumu_sugita @tani6s @s__w 理解がまとまってよかったです。ありがとうございました。