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変分法でオイラー・ラグランジュ方程式を出すときに端点の条件は必要か?

ローカルな方程式を出すだけなら必要ないとの結論。
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Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16

疑問:オイラー・ラグランジュ方程式を変分法で導くとき,部分積分をして端点での変分がゼロになるという条件をつかうが,これって必要? (続く)

2014-07-01 17:01:20
Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16

(続き)とえば,hooktail.sub.jp/analytic/verif… の式6の第一項だが,t_1< t <t_2を満たす t についてδq(t)はδq(t_1),δq(t_2)と独立だから,t の近傍では第一項は定数になって,(続く)

2014-07-01 17:05:08
Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16

(続き)境界条件からゼロにしなくても,t 付近の解を計算するときには寄与しない気がするのですが。もちろん,境界条件がないと解はきまらないけど,ローカルな方程式の導出にはいらないのでは?

2014-07-01 17:06:50
Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16

手近な力学の教科書をいくつかながめてみたけど,全部境界条件から第一項をゼロにしてた。しかし,こう見ると@irobutuさんの教科書はよくできてる。(あ,別に返信してくれって要求してるわけじゃないです,いやちょっとはそういうわけですけど。)

2014-07-01 17:10:08
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

一瞬、ここまでで「そうか」と納得しかけたんだけど、やっぱりどこか騙されている感が。実際のところ解を出した後で端っこを動かしてしまうと経路全部動いてしまうということを考えると、これで「ローカルな式は出ている」と納得していいもんだろうかと。 @gandhara16

2014-07-01 17:15:56
Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16

.@irobutsu さっそくのお返事ありがとうございます。期待以上の早さ! ローカルな式を出したあとで境界条件を,という流れならいいかもとも思うですが,なんかもやっとしてるのでちょっとよく考えてみます。

2014-07-01 17:22:17
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

試しに、時間を離散化した「Toy作用」を書いて途中の点で微分したら、確かに端っこ関係なしに運動方程式出ますねぇ。 しかしこれは離散化したことで部分積分がいらなかったからではないのかという気もするし。 @gandhara16 pic.twitter.com/15PHEeS2OB

2014-07-01 17:24:55
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Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16

.@irobutsu 確かに端っこにどんどん近づいていくとどうなる,という疑問はあります。

2014-07-01 17:26:57
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

端点を変分しないのは、「端っこ止めないと運動決まんないんだから、『運動を決めたい』という計算の主旨に反する」というのが話の筋として通っているんだと思います。では「運動決まら無くていいから運動方程式欲しい」という立場ならどうかという点が疑問ですね。 @gandhara16

2014-07-01 17:30:31
Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16

なるほど。「運動方程式+境界条件」をこみであつかうのが解析力学の趣旨だが,運動方程式だけなら端点の条件はいらないのかな? @irobutsu

2014-07-01 17:34:23
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

う〜ん、だんだん良いような気もしてきた。しかし「変分が独立なんだから真ん中のあたりの変分だけを考えて」というのは結局は「端っこを固定する」というのと同じ計算をやっているような気もしてきました。 @gandhara16

2014-07-01 17:55:32
Satoshi Yukawa @s__w

@irobutsu @gandhara16 端を固定しないときには表面項が独立に0になるべしという条件から、固定境界条件でない別の境界条件が出てくるだけで、バルクは変わらないです。(中村さまお久しぶりです。)

2014-07-01 18:04:04
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

そういえば、正準方程式の方を変分原理で出す時(q,pを変数とする時)は、運動量pの方は一度も部分積分しないので、端点で運動量pの変分は0という条件はどこをどう見てもいらない。これは関係ない話か。

2014-07-01 18:05:34
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

その場合、端っこの「別の境界条件」の大本は何でしょう? つまりその条件は「何から導かれた」ことになるんでしょう?? ネーターの定理みたいに対称性が大本だった場合はそれが保存則に化けたりしますが。 @s__w @gandhara16

2014-07-01 18:07:49
Satoshi Yukawa @s__w

@irobutsu @gandhara16 大本は、境界が変わりうることまで含めた最小作用の原理だと思います。例えば、端がある曲線上に拘束された懸垂線の問題とかも同じように解けますよね。

2014-07-01 18:15:39
TANIMURA Shogo @tani6s

横ヤリ失礼します。前野さん、ハミルトン形式(正準形式)の変分法では、両端の q は固定しますが、p は固定しません。部分積分した項に p の端点の変分が出て来ないという理由でよいと思います。@irobutsu @gandhara16

2014-07-01 18:16:32
TANIMURA Shogo @tani6s

例えば、アーノルドの本『古典力学の数学的方法』のp.236 に はっきりそう書いてあります。しかもそのページには端点の p を変化させている図まで描いてあります。@irobutsu @gandhara16

2014-07-01 18:18:34
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

@s__w @gandhara16 ああ、問題が「端っこが動いても作用が最小」である場合の話になるわけですか。なるほど。

2014-07-01 18:20:10
Satoshi Yukawa @s__w

重力場中の運動で初期座標を固定しないときは、初速が0になるような条件が出てきますよね。@irobutsu @gandhara16

2014-07-01 18:20:16
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

@tani6s @gandhara16 どもども。あ、ちゃんと明記している本もあるんですね。実は「よくわかる解析力学」という本では、脚注にこそっと書いてあります(^_^;)。

2014-07-01 18:22:50
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

確かに初速度0という式が出ますね。それって「そうやると初速度0と出る」ということに直観的な理由ってつくんでしょうか?? 端点での微分は結局運動量だから、というのはわかるんですが…。 @s__w @gandhara16

2014-07-01 18:27:35
TANIMURA Shogo @tani6s

ラグランジュ形式では q の両端固定。ハミルトン形式で q, p 全部両端固定してしまうと、一般に微分方程式が解なしになってしまいますもんね。@irobutsu @gandhara16

2014-07-01 18:29:39
前野[いろもの物理学者]昌弘 @irobutsu

@tani6s @gandhara16 この端のpを固定しないってのは経路積分でも効いてます(そりゃ、量子力学でqを固定したらpは積分するしかないので)。

2014-07-01 18:34:49
杉田歩 @ayumu_sugita

@irobutsu @tani6s @gandhara16 横からすみません。「端点の変分が0になるという条件は必要か」という問い方にちょっと曖昧さがあると思います。端点の変分の条件がなくても、必要条件として運動方程式は出ますが、端点に対する変分も0とすると、一般には解なしに。

2014-07-01 18:35:50
杉田歩 @ayumu_sugita

@irobutsu @tani6s @gandhara16 だから、必要条件として運動方程式が出れば良い、という立場からすれば、端点変分の条件は考えなくてよいですが、実際に解が存在するような条件を考えたいなら、端点の変分は取らないことにする必要があります。

2014-07-01 18:37:17
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コメント

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki 2014年7月3日
「曲面上の2点を結ぶ最短の経路」のような典型的な変分問題を考えれば、両端の2点の位置を固定しておかないと経路の長さが極小になりようがないので、両端を固定しなければいけない理由が分かり易くなると思いました。
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黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki 2014年7月4日
一応訂正。長さが0で極小にはなります。しかし、解はそれだけになる。
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Hiraku Nakajima @hirakunakajima 2014年7月4日
境界条件を少し変更した変分問題を考えてみましょう a) 曲面上に二つの曲線を取り、端点はその上を動くとする b) 端点がない閉曲線を考えるが、そのホモロジー類を固定する どちらの場合も、解はオイラー・ラグランジュ方程式として測地線の方程式を満たし、その導出は端点の条件を課す場合と同じです。(いったん小さな区間をとり、そこだけ動かす変分を考えるので。)ただし、測地線の方程式は、必要条件ではあっても十分ではありません。a) の場合は、端点が一番近くなるように取る条件が付け加わります。
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Hiraku Nakajima @hirakunakajima 2014年7月4日
みなさん、分かっていられるところに蛇足の説明ですいません。上の @genkuroki さんの説明がおかしいと思ったので、つぶやいたところ、やりとりのあと、私の説明も書いておいたほうがいい、といわれましたので、書いておきました。
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黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki 2014年7月4日
「境界条件を適切に設定しないと意味のある(面白い)議論にならない」ということがこのまとめの結論でしょう。まあ、これで、定置写像だけが解になってしまい面白くない例(私が出した例)と端点を固定しても面白い話になる例が追加されたわけです。
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黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki 2014年7月4日
このまとめでも、端点を動かしてよい場合にもオイラー・ラグランジュ方程式の導出の仕方は同じ(これは自明)ということもきちんと指摘されていますよね。
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Hiraku Nakajima @hirakunakajima 2014年7月4日
面白い議論になるかならないかは、まとめの結論とは思ってない。「ローカルな方程式を出すだけなら必要ない」というのが結論でしょ。そう書いてあるんだから。
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黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki 2014年7月4日
このまとめの終わりの方で青字で太字になっている結論部分は「運動方程式を出したいだけなら端のことは考えなくてよい」だけではなく、「具体的な解の集合を考えたいなら端にも注意しろ」も入っています。まあ普通の考え方に落ち着いたということではないでしょうか。続く
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黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki 2014年7月4日
続き。オイラー・ラグランジュ方程式を出すだけなら端点の固定は不要ということについてはこのまとめの前半で結論が出ています。それに続けて、「それじゃあ、端点を固定することの意味は?」という疑問に関する雑談に突入するわけです。続く
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黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki 2014年7月4日
続き。このまとめの途中では、厳密には「質点がまったく動かない解のみが存在」と言うべきところを、「解が存在しない」のように言ってしまっている部分がありますが、「質点がまったく動かない解のみが存在」するケースを扱っても面白くも何ともないので、そういう些細なところにこだわるのはこのまとめの主旨に反すると思いました。続く
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黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki 2014年7月4日
続き。端点の処理(もしくはより一般的には境界条件の設定)と変分法のあいだの関係がこのまとめの後半の雑談の内容になっているのだと私は思いました。しかし、具体例が足りていないのではないかと思って、シンプルな経路の長さの例を投入してみたのです。続く
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黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki 2014年7月4日
続き。私のコメントはこういう主旨だったので、いきなり「正しくないと思う」と言われたのは心外でした。しかし、「境界条件の設定の仕方にも色々ある」(具体的な設定の説明の仕方を含む)という方向に話しが進む分にはとてもうれしいです。以上、解説終わり。
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黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki 2014年7月4日
一番言いたいこと。「経路の長さ」に関する変分問題と「L=(運動エネルギー)-(ポテンシャル)の積分(作用)」に関する変分問題では、前者では経路のパラメーター付け(力学では時刻への依存の仕方に対応)を変えても「経路の長さ」が自明に変わらないことが違っているのですが、経路の長さは視覚的に把握し易いという利点があるので、「経路の長さを極小にする変分問題」のケースについても知っておくことには価値があると思います。
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黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki 2014年7月4日
そして、繰り返しになりますが、「経路の長さ」に関する変分問題の場合についても様々な境界条件が話題に出るのはとてもよいことです。(そういう方向に誘導したかった。)
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Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16 2014年7月4日
自分宛てに@のついたのしか拾ってなかったので, 落ちてた@irobutuさんのツイートを追加しました。@tani6sさん,失礼しました。
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TANIMURA Shogo @tani6s 2014年7月4日
「変分法でオイラー・ラグランジュ方程式を出すときに端点の条件は必要か?」に黒木さん@genkuroki がすごく丁寧なコメントをつけてくれていて、びっくりしました。@irobutsu @gandhara16 @ayumu_sugita @s__w http://togetter.com/li/688003
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TANIMURA Shogo @tani6s 2014年7月4日
私の主張を一言で言うと、「変分法においては、境界条件は問題の一部であり、オイラー・ラグランジュ方程式そのものは変分法の結論の一部だ」ということになります。
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TANIMURA Shogo @tani6s 2014年7月4日
どういう条件で「解なし」と言っているのかが不明確でしたね。> @genkuroki 厳密には「質点がまったく動かない解のみが存在」と言うべきところを、「解が存在しない」のように言ってしまっている部分がありますが…
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TANIMURA Shogo @tani6s 2014年7月4日
端点を変なところに固定すると「解が存在しない」ケースを作れます。例えばラグランジアン L = \dot{x}^2 - x^2 の運動方程式は \ddot{x} = -x ですが、始点 x(0)=0, 終点 x(2\pi)=1 を要請すると「解なし」になります。
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TANIMURA Shogo @tani6s 2014年7月4日
また、例えば、ハミルトニアン H = p^2 で境界条件 x(0)=0, p(0)=1, x(1)=0, p(1)=1 を課すと「解なし」になります。これら2例でも変分の停留条件から運動方程式を導くだけならできます。
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TANIMURA Shogo @tani6s 2014年7月4日
幾何学的最短曲線や極小曲面の問題だと、解が定値写像のみになるのが「自明解のみ存在」するケースですが、力学だと「境界条件を満たす解がない」問題を簡単に作れます。私はそういう例を意識していました。
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杉田歩 @ayumu_sugita 2014年7月4日
すみません、ちょっと補足を。僕が「解は存在しない」と書いているのは、通常のラグランジュ形式の議論の通り、「始点と終点を固定」した上で、「端でも0とは限らないようなδqに対しても変分は0」という条件を課すと、一般には解なしになる、ということです。(端点をうまく取れば解はある。)端点を決めることと、変分のとり方を決めることは論理的には独立なので、こういう問題設定も可能です。(変な問題ですが。)
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杉田歩 @ayumu_sugita 2014年7月4日
これ、書いているときから、誤解されやすいかな、と思っていたのですが、やはり誤解されてしまいました。説明不足で申し訳ない。
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TANIMURA Shogo @tani6s 2014年7月4日
杉田さんのおっしゃる【「始点と終点を固定」した上で、「端でも0とは限らないようなδqに対しても変分は0」という条件を課す】のは問題設定として不思議ですね。理屈の上ではそういう条件を課すことはできますが。うん~、あまり良い例ではない気がします。失礼。
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杉田歩 @ayumu_sugita 2014年7月4日
ええ、変な問題設定なんですけど、最初の中村さんの話は、そういう問題を考えたらどうなるか、ということだと思ったんで。(もしかして違ってたら失礼。)
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杉田歩 @ayumu_sugita 2014年7月4日
しつこいですが、言葉だけだと分かりにくいかと思うので、前野さんのtoy作用で話をすると、まず、x_1とx_3はgivenとして、ある条件を満たすx_2が存在するか考えるわけですね。で、普通は、x_2で微分したら0という条件を考える。(この場合はちゃんと解がある。)
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杉田歩 @ayumu_sugita 2014年7月4日
しかし、x_1とx_3で微分しても0という条件をさらに課すと、普通は解は存在しなくなります。x_1=x_3の時だけ、例外的に解が存在する。僕が言っていたのはそういうことです。
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TANIMURA Shogo @tani6s 2014年7月4日
そういうことならわかります。「ラグランジアン=運動エネルギー」の場合、両端を自由に動かすという条件の下では定値解のみが得られる、と言う方が素直な気がしますね。で、この条件では両端の位置が異なる解は存在しない。了解です。
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Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16 2014年7月4日
最初にあいまいな書き方をしましたが,中村の最初の主張は「変分法で運動方程式をだすときにδq = 0の条件は必要ない」です。これはみなさんの議論でOKになったと思います。
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Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16 2014年7月4日
解の健全性などまで考えた変分法全体の手続きとしてどうなるか,というのは射程外だったのですが,みなさんの議論をみて勉強になりました。
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Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16 2014年7月4日
ところで,このへんのあつかいって,変数が(t,s)と2つ(あるいはそれ以上)あっても成り立ちますよね。たとえば,ななめにした輪っかに貼った膜が重力でたれさがっているような場合。実はそういう問題を考えていたときの疑問だったので。
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杉田歩 @ayumu_sugita 2014年7月4日
そうですね。変数2つ以上でも、内部で成立する微分方程式は、端の条件とは関係なく導出できるでしょう。
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Dolista @Dolista 2016年12月5日
あとでゆっくり読む。
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