モノポールがある場合の電磁気学とベクトルポテンシャル

Yusuke Hayashi 林祐輔 𝕏 @hayashiyus

中村匡先生 ( @gandhara16 ) の「微分形式で見た電磁気学 : あるいは2+1次元人の電磁気学と時空平等解析力学について」 mira.bio.fpu.ac.jp/tadas/ repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstre… pic.twitter.com/MYQkMcjO3O

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とある高専卒業生 @subarusatosi

@hayashiyus @7shi @gandhara16 共変解析力学の、これに続く全論文は次の4つです： 神長保仁, ejtp.com/articles/ejtpv… … 中嶋慧, arxiv.org/pdf/1510.09048… … 中嶋慧, arxiv.org/pdf/1602.04849… … 神長保仁, arxiv.org/pdf/1703.06718… … また、私のスライド gauss.ph.tsukuba.ac.jp/~nakajima/CAM.… があります。 twitter.com/hayashiyus/sta…

とある高専卒業生 @subarusatosi

@7shi @hayashiyus @gandhara16 読む順番は、中村(2002)→中嶋(2015)→中嶋(2016)→神長(2012)→神長(2017)をオススメします。 神長(2012)の重力の部分は計算の省略が凄いです。私が苦労して、間を詳しく(2015年の論文に)書いたので、そちらから読むと良いと思います。

とある高専卒業生 @subarusatosi

@hayashiyus @gandhara16 中村匡「微分形式で見た電磁気学 : あるいは2+1次元人の電磁気学と時空平等解析力学について」脚注5 mira.bio.fpu.ac.jp/tadas/dye_boot… 「実は最近，ナカムラには困ったことがある。剣岳という山をご存じだろうか？ 北アルプスの北部にある山で・・・。あれ，ちょっと待てよ，かなり前になにやら思わせぶりな...

とある高専卒業生 @subarusatosi

共変解析力学は、↓の中村匡 先生が初めて、私の高専時代の恩師の神長先生が整備し、私も少し貢献しました。ポアソン括弧は私が提案し、最近、神長先生が整備しました。 最終のターゲットは重力の量子化です。 twitter.com/gandhara16/sta…

Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16

中村くんの卒業アルバムの写真はっときますね。>RT pic.twitter.com/DaBbUzN7W4

2017-10-30 18:08:12

とある高専卒業生 @subarusatosi

Maxwellの書いた教科書『電磁気論考』の式(x, y, z各成分が別に書かれているものと四元数で書いた式が併記されている)をヘビサイド・ギブスの記法(ベクトル解析)と現代の記号で書いたもの。太田浩一『電磁気学Ⅱ』p.597 なお、次のページに1885年のヘビサイドの、モノポールありのMaxwell方程式がある pic.twitter.com/L79B5EHrcJ

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より詳しくは、 André Waser, "On the Notation of MAXWELL’s Field Equations" zpenergy.com/downloads/Orig… pic.twitter.com/03zwmw1Cgf

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James Clerk Maxwell, "A treatise on electricity and magnetism" aproged.pt/biblioteca/Max… pic.twitter.com/hoJlKvyTAp

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とある高専卒業生 @subarusatosi

【四元数と電磁気】 1843年10月16日 四元数発見 1853年 ハミルトンの四元数の本 Taitはこれを読み、1859年から四元数の本を書き始め、1867年出版(物理への応用あり)。ハミルトンの四元数の本の第2作(1866年)を待っていた。 MaxwellはTaitのすすめで四元数を60年代後半に勉強し、1873年の教科書で使用。

とある高専卒業生 @subarusatosi

とある八雲の科学解説 『マクスウェル方程式とモノポール』 という動画が良いです。驚きました。 これに更に、むしろモノポールがない方が美しい、という動画があれば完璧ですね。 nicovideo.jp/watch/sm321711…

とある高専卒業生 @subarusatosi

モノポールがある場合のMaxwell方程式(H)を書いたのは、ヘビサイドで1885年。実は、それが(4つの)Maxwell方程式が書かれた最初の論文。 (H)は、複素電磁場E/c + √(-1)Bを使うと1つの綺麗な式になる。複素電磁場は、リーマンの講義を基礎にしたWeberの教科書(1901)に現れた twitter.com/subarusatosi/s…

とある高専卒業生 @subarusatosi

【修正版】 磁荷がある場合のMaxwell方程式は、 dF = - K (= 磁気カレント3形式) d＊F = J. Aを1形式, Bも1形式として、 F = dA - ＊dB で、 d＊dA = J d＊dB = K これは4次元の場合。他の次元ではどうなるだろう

とある高専卒業生 @subarusatosi

j^μ = (ρ, j), k^μ = (磁荷密度, 磁気流)として、 J = ＊ j_μ dx^μ K = ＊k_μ dx^μ

とある高専卒業生 @subarusatosi

D次元時空では、Kは3形式, Jは(D-1)形式, Bは(D-3)形式, Aは1形式として、同じ式が成り立つ。 twitter.com/subarusatosi/s…

とある高専卒業生 @subarusatosi

一般の次元で、ゲージ変換 A → A + dχ (χは0形式) B → B + dλ (λは(D-4)形式) での不変性がある。χとλは独立

とある高専卒業生 @subarusatosi

@neet2go (1)dF = -K (2)d＊F = J の時、 (3)F = dA + C と置いてみます。(2)より、 d＊dA+ d＊C = J. A, Cの選び方に任意性があるので、 (4)d＊C = 0 を課すと、＊C = dB, C = -＊dB. よって、 (5)F = dA -＊dB (6)d＊dA = J (7)d＊dB = K. この議論はどうですか？

とある高専卒業生 @subarusatosi

@neet2go そうですね。 次のように考えると良いかも知れません。 dF = -K, d*F = J を満たす2形式FをF = f + g, df =0 , d*f = J dg = -K, d*g = 0 と分解すると、 f = dA, *g = dB と書ける。よって、 F = dA - *dB d*dA = J d*dB = K

とある高専卒業生 @subarusatosi

考えれば皆すぐに分かる事なので書くと、物質の方を考えない場合、ラグランジュformは、 L= - (1/2) F ^ * F + A ^ J + K ^ B (F = dA - *dB). A, Bを独立として変分を取って、 dF = - K, d*F = J を得る。AとBの共役形式をπ, pとすると、 π = -*F, p = - F で、これは拘束系となる (cc.@gandhara16 ) twitter.com/subarusatosi/s…

とある高専卒業生 @subarusatosi

@gandhara16 物質が質点(スピン0)とすると、作用のうち、A ^ Jに由来する部分は、e∫dx^μ A_μとなる。4次元では、 K ^ Bからg∫dx^μ B_μが来る。x^μについて変分して、 mdu^μ/dτ = (eA_{μν} + gB_{μν})u^ν (u^μ=dx^μ/dτ) を得る。ただし、C_{μν} = ∂_μC_ν - ∂_νC_μ. この式は正しくない。

とある高専卒業生 @subarusatosi

@gandhara16 太田浩一『マクスウェル理論の基礎』p.269には、AとBが共存する場合、「運動方程式と保存則すべてを正しく与える変分原理は知られていない[394]」とある。 [394]は、 F. Rohrlich, "Classical Theory of Magnetic Monopoles" journals.aps.org/pr/abstract/10… (cc.@neet2go さん)

元ニート2号（一浪 (mod 10)） @neet2go

符号をきちんと合わせていませんが、2形式の場のポテンシャルとして1形式のAと3形式のBを考え、δを余微分としてF=dA+δBと書けるとすると、ローレンツゲージにあたるものとしてδA=0かつdB=0を課せば、(d+δ)(A+B)=F、(dδ+δd)(A+B)=J+Kなどとできる。

とある高専卒業生 @subarusatosi

@neet2go 理解しました。面白いですね。 私のB, Jをb, jと書くと、ここでの記号は、 B = -＊b J = ＊j ですね