むじかのソリトンのための微分方程式講座その２

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

ソリトン第二弾 ソリトンを理解するための微分方程式入門その２ 連ツイをはじめるわね

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

昨日に引き続き微分方程式のお話をやっていきます。 アシスタントは昨日と同じくけみか @chemica_tan が担当します。 よろしくね。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

さて、昨日は「微分方程式とは何か」ということといろんな微分方程式を見てきました。 詳しい事はこちらのまとめを見てね。 togetter.com/li/740391

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

ちなみに、今日も数学的な厳密性は追及しないのでそこんところは昨日のお断りと同様よ。 よろしく頼むわね。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

今日は昨日とちょっと話題を変えて微分方程式の「線形性」について話するわ。 今日の分のテキストを張っておくわね。 pic.twitter.com/wYsEhNV7Na

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音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

線形性って高校までの数学ではでてこない（と言うか意識しない）概念だけど、簡単に言ってしまえばなんかしらの形で直線に喩えられるものを指すわ。（かなり乱暴なたとえ）

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

今の話では何のこっちゃ、になってしまうので関数を例に出して言うと、一次関数は典型的な「線形性を持った関数」と言う言い方ができるわ。グラフにしたら直線になるからイメージしやすいわね。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

数学で扱うのは何も関数だけではないので、より一般的な形で線形性を定義する事になるわ。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

具体的にどのような形で定義するかと言うと「こういう性質が言えたら線形性を有しているとする」と言った具合になるわ。 では、その具体的な定義を見ていきましょう。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

線形性の定義 １．加法性 任意の二つの値について足し算が成り立つ…ってことなんだけど、関数で表現すると以下の様になるわ。 f(x+y)=f(x)+f(y)

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

２．斉次性 特定の作用を加えると全体に同じように作用すると言う事よ。 関数で表現すると以下の通り。 f(ax)=af(x)

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

以上の二点が線形性の定義、と言うか性質ね。本当は数学的論理を使って厳密に話するべきでしょうけど、とりあえずこの２点の性質が満たされれば「線形性がある」と言っていいわ。

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics 言いたいことはわかるけど、かなりざっくりとしてて広い定義なのね～。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

ざっと駆け足で線形性の定義について話してみたけどテキストにあるように一次関数でこの「線形性」を確認してみましょうか。けみか、お願いできるかしら？@chemica_tan

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics f(t) = Atに対して加法性と斉次性を確認するのね。じゃあ加法性から行きますか。

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics テキストにもあるけど、厳密な証明はしに行かないね。 じゃあ文字と具体例で。 f(x+y) = A(x+y) = Ax + Ay = f(x)+f(y) （真ん中の二辺は掛け算の結合法則より）

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics 具体例はテキストと違う値でやってみましょう。 x=1, y=4で。 f(1+4) = A(1+4) = 1A + 4A = f(1)+f(4) （やはり真ん中の二辺は掛け算の結合法則より） はい、加法性終わり。

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics 斉次性は...まあ見たまんまなんだけど（汗 文字でやってみますか。 f(ax) = A・ax = a・Ax = a・f(x) （真ん中の二辺は掛け算の交換法則より） （続く）

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics （続き） 具体例はa=7で（ひねくれる）。xはそのまま使った方が任意性高いんじゃないかな。 f(7x) = A・7x = 7・Ax = 7・f(x) （やはり真ん中の二辺は掛け算の交換法則より）

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

はい、ありがとう♪一次関数だと扱いも楽でグラフも直線と分かってるから確認も簡単だったわね。 @chemica_tan

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

【こぼれ話】「線形性」と書いているけど文献によっては「線型性」とする文献もあるわ。大学で学んでる方は教わった方で表現してね。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

さて、線形性がどういうものか分かったところで微分方程式の線形性とは何か考えて見ましょう。