むじかのソリトンのための微分方程式講座その２

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

では、テキストの次のページに参りましょう。 目標は微分方程式の線形性を確認する事。 前半でけみかが言ってくれたように「関数についてみると関数の一次式かどうか」と言うところが(4.1)式と(4.2)式の差だったわね。 pic.twitter.com/4IOSVfAmZ1

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微分の階数自体は線形性に関与しない。 そして、微分方程式は解が関数の形である事。 この２つの原則論を組み合わせると「関数を一種の変数として見立ててその結果、一次式かどうかで線形性を判断する」と言う事ができるわ。 それを示したのが(4.8)式と(4.9)式ね。

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さて、「ざっくり説明」するとこういうことなのだけど…。。。 フォロワーさんの中でこの説明に「納得いかない！」って方はいらっしゃるかしら？

シオヤキ @23571113tp

@soundofphysics 捉え方の違いですよね？ 私はそのように教わってなかったので、そういう考え方もあるな～ って感じで見てました。

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そうね、実際大学では微分方程式の線形性の教え方は様々だわ。 @23571113tp 捉え方の違いですよね？ 私はそのように教わってなかったので、そういう考え方もあるな～ って感じで見てました。

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厳密な話をすれば先に示した線形性の定義を示す必要があるわ。だけど一次関数の例で分かるようにすでに「線形の性質を持つ」と分かってるものと同系統かそうでないかで判断したほうが「楽」とも言えるのよね。

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変数に限らず関数や群の様にひとつの塊とみなして変数と同様に扱えるものを数学では「写像」と言うわ。これはかなり一般化した概念なので興味ある人はその切り口から確認してみるといいわ。

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そういった意味では関数を変数として見立てて1次式かどうか判断すると言うのは写像としての関数の性質を利用している事になるわね。 離散的な概念がだんだんとつながってきたわね。

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まとめ： ・微分方程式の線形性は「方程式が線形性を有しているか」で判断する。 ・微分方程式の解は関数だが、解の一次式かどうかで線形性を判断する方法もある。 こんなところかしらね。

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ダメだしで追加すると、この微分方程式の線形性の判断は、偏微分方程式においても有効だわ。 そりゃそうよね。偏微分方程式そのものは、多変数関数に対して１変数で微分しているだけに過ぎないもの。

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そんなかんじで、一旦微分方程式の話は終わるけど…。。。 ここでラスボスこと、ソリトンの方程式の予告だけしておくわね。

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テキストの「５．最後に」で紹介しているKdV方程式と言う方程式があるわ。 実はこれが「ソリトンを導く方程式」の一つよ。

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「ソリトンを導く方程式の一つ」と言う言い方をしたのはソリトンを導く方程式は実は無数にあるの。これは「佐藤理論」と呼ばれる理論から導かれる結論だわ。

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そして、ソリトンの方程式は例外なく「非線形偏微分方程式」だわ。 特に、KdV方程式は早い段階で発見されていて、特定条件下で線形偏微分方程式として解く事もできるわ。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

と言う事でここでいきなり次回予告！ ソリトン第三弾はこのKdV方程式を実際に調べていくわ！ 昨日今日で確認した微分方程式の知識を使っていろいろとその性質を見ていくわよ。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

そして、KdV方程式に挑む時に必要な事として「微分方程式の線形性」が重要になってくるわ。線形微分方程式なら昨日紹介した方法で解けることが多いからね。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

「でも、KdV方程式は非線形微分方程式なんでしょう？」 ご心配なく。例えば二次方程式で直線じゃなくなってしまうのは２次の項があるからだったわね。微分方程式も項によって線形性・非線形性が分かれるのよ。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

特にKdV方程式は非線形項を0とおいて線形項だけで考える事もできるから、学部の卒論のテーマにもちょくちょく上ってるみたいね。そういうアプローチで第三弾は挑んでいくわ。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

そして、最後に今回の企画の参考文献の紹介よ。さらにテキストのpdfファイルも置いとくわね。 dropbox.com/s/shmaoslptktn… pic.twitter.com/jiMIQil0Kj

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音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

以上を持ちまして、ソリトン第二弾の連ツイを終わります。 昨日とあわせてご清聴ありがとうございました！ けみか共々お礼申し上げます。

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

という訳でお姉ちゃん@soundofphysics との連ツイ、ソリトン企画第二弾の終了です。読んで下さった皆さんお疲れ様でした！