電磁気学と相対性理論がつながる！

ryugo hayano @hayano

（今日の福島高校での授業，大多数の生徒はポカーンだったろうが，E=mc^2とローレンツ力の関係，つまり，E=mc^2が，モーターなど日常的な物理現象と密接に関係していることを理解できた生徒さんが少なくとも一人いたことが確認できたので，満足）

数学たん @suugakutan

ある質点の電荷q，速度v，そこにおける磁束密度B．この質点にはクーロン力の他にLorentz力 F=qv×B が働くんだけど…おかしくない？慣性系1と，等速度で動く別の慣性系2では質点の速度は異なり力は等しいという事と矛盾してるようだよね．そう，この疑問こそ相対性理論の始まりだ．

数学たん @suugakutan

静電場(定常電流なので時間的に変化しない電場)において，B₂=μ₀/4π*∫ J₁×r₁₂/|r₁₂|³ dV₁ だった．なんと，A=μ₀/4π*∫ J₁/|r₁₂| dV₁ とすると，AはBのベクトルポテンシャル(rotA=B)になる．計算すると良い．ゆえにdivB=0．

数学たん @suugakutan

Faradayは，回路2つの片方に電流を流すと他方にも流れるのを発見した．これは，電流で発生した磁束密度で他方に電場が出来たのが原因で，前半の式はrotB=μ₀*J，後半部分の式は新たにrotEi=-Ḃで説明される．この電場Eiを誘導電場，最終的にE=Ec+Eiを電場という．

数学たん @suugakutan

変位電流まで考えて，電磁気学で最終的に成立する式は以下だ． divE=ρ/ε₀ divB=0 rotE=-Ḃ rotB=μ₀*J+ε₀*μ₀*Ė これをMaxwellの方程式という． また，Lorentz力 F=qE+qv×B も忘れてはならない．

数学たん @suugakutan

絶縁体は，電場にあたった時，導体ほどではないが僅かに電荷分布を変える．これを分極という．分極の様子は分極ベクトルPという量で表される．Pは絶縁体の各点に定義され，そこでの電荷の通った方向を向き，そこを単位面積当たりに通過した電荷量の大きさを持つ．よって単位はC/m²．

数学たん @suugakutan

分極で動いた電荷を分極電荷という．分極電荷密度ρ_Pは divP=-ρ_P となることはわかるだろう．しかし分極電荷まで計算するのは面倒．そこで真電荷密度 ρ_t = ρ - ρ_P ，電束密度 D=ε₀E+P という量を定義する．これが divD=ρ_tになるのは簡単だね．

数学たん @suugakutan

分極Pは，十分小さければ電場Eに比例するので，P=χε₀E というように書ける．このχを電気感受率といい，物質の定数になる．ただし，物質によっては数でなくテンソルになる．これを使うとD=(1+χ)ε₀Eだね．(1+χ)を比誘電率といい，ε₀(1+χ)を誘電率といい単にεと書く．

数学たん @suugakutan

電場のD=εE+P，ε=(1+χ)ε₀，ρ_t=ρ+ρ_Pに対応し，磁場のB=μH+M，μ=(1+χ)μ₀，J=J_t+J_mという式も成立．この新たなHは電場，Mは磁化，μは透磁率，χは磁化率，1+χは比透磁率，J_t=J_D-Ṗは真電流密度，J_mは磁化電流密度という．

数学たん @suugakutan

磁場や電束密度を入れると，Maxwellの方程式は以下のようになる． divB=0 divD=ρ_t rotE=-Ḃ rotH=J_t+Ḋ さて，E-H対応(D→B,ε₀→μ₀)に思える？でも式の意味を考え新たに，E-B対応(D→H,ε₀→1/μ₀)を考え構築してみて．

数学たん @suugakutan

電荷の存在しない真空では，Maxwellの方程式は以下のようになる． divE=0 divH=0 rotE=-μ₀Ḣ rotH=ε₀Ė これを弄ると，□=△-ε₀μ₀*∂²/∂t² という演算子(d'Alembert演算子という)を用いて □E=□H=0 が出る．波動方程式．

数学たん @suugakutan

twitter.com/suugakutan/sta… これの解として， E=a*cos(k・r - ωt)，H=b*cos(k・r - ωt) ただし k²=ε₀μ₀ω²，a⊥k，b×k=ε₀ωa を確認してほしい．これは電磁波の式だ．またその速さ√(1/ε₀μ₀)を計算してみて．

数学たん @suugakutan

電荷の存在しない真空では，Maxwellの方程式は以下のようになる． divE=0 rotE=-μ₀Ḣ divH=0 rotH=ε₀Ė これを弄ると，□=△-ε₀μ₀*∂²/∂t² という演算子(d'Alembert演算子という)を用いて □E=□H=0 が出る．波動方程式．

2013-03-13 19:03:02

数学たん @suugakutan

twitter.com/suugakutan/sta… 値は？そう，これは真空中の光速度に等しい！光が波である根拠だ．ところで，divB=0，rotE=-Ḃより，B=rotA，E=-Ȧ-gradφなる場の存在がわかる．これを電磁ポテンシャルという．またA+∇ψ，φ-ψ̇しても満たす．

数学たん @suugakutan

twitter.com/suugakutan/sta… これの解として， E=a*cos(k・r - ωt) H=b*cos(k・r - ωt) ただし k²=ε₀μ₀ω²，a⊥k，b×k=ε₀ωa を確認してほしい．これは電磁波の式だ．またその速さ√(1/ε₀μ₀)を計算してみて．

2013-03-13 19:14:33

数学たん @suugakutan

twitter.com/suugakutan/sta… ψの変換をゲージ変換という．特にdivA=-φ̇/c²を選ぶと，他のMaxwellは□φ=-ρ/ε₀，□A=-μ₀Jに帰着．解はφ₂[t]=(1/4πε₀)∫(ρ₁[t-|r₁₂|/c])/|r₁₂|*dV₁．影響は光速なんだね．

数学たん @suugakutan

twitter.com/suugakutan/sta… 値は？そう，これは真空中の光速度に等しい！光が波である根拠だ．ところで，divB=0，rotE=-Ḃより，B=rotA，E=-Ȧ-gradφなる場の存在がわかる．これを電磁ポテンシャルという．またA+∇ψ，φ-ψ̇しても満たす．

2013-03-13 19:33:14

数学たん @suugakutan

私は，質点1を基準とした質点2の相対位置をr_12，相対速度をv_12と書き，質点1から質点2に働く力をF_12，作る場EをE_12，質点2にかかる全力を F_2=Σ{F_i2}，場Eを E_2=Σ{E_i2}と書くことにする．これはあくまで私の流儀で人によって違うので注意．