SL(2,Z) と双曲空間についての議論まとめ

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter いやっ、さっきのナゾの行列が SL(2, C) の形になってます！ @matsumoring

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 あ！SL(2, C) を (p*, q*, q, p) でなくて (p*, q*, p, q) と勘違いしてました！ i で割ったら確かに対角部分が複素共役になっていることは確認できました！あとはガウス整数かどうかですが・・・ @matsumoring

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 続き）(a+d) + (c-d)i を 2 で割らなければいけないんですが、2 で割っちゃったらガウス整数にならないような・・・？ @matsumoring

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter こんな具合に（縦横に線入れないと計算できないw） pic.twitter.com/scJsd9iO5p

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さのたけと @taketo1024

@tsujimotter あ、そうですね。作用としては定数倍無視できるんで、SL の元とみる場合は 1/2 つけなきゃいけないって感じですかね。

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 ああ！！！そういうことか！！！

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 たしかに！！！一次分数変換で考えれば定数倍関係ないですね！！！なんて簡単なことに気づかなかったのだろう。。。

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter いやぁ、色々とスッキリしましたねw 勉強になりました！

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 ほんとにもう、めちゃめちゃすっきりしました！！！結局、リングさんの「答え」がすべてだったのですね。。。笑

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter わははw ちゃんと辿り着けてよかった！

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 ええ。学生時代に指導教官のアドバイスを一年半後に納得したことを思い出しましたw　到達してよかったです！付き合ってくれてありがとうございます！

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter いえいえー、久しぶりに上半平面とポアンカレ円板に接することができて楽しかったです！w

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 ぼくはポアンカレとようやくお近づきになれましたw 今ならいろんな解説が頭に入ってくる気がします。これからがきっと楽しいですねw

リング @matsumoring

@tsujimotter @taketo1024 気がつけば膨大なやり取りが…w最後の1/2倍を無視するところですが、そうすると行列式が4になってしまうので私の答えも間違っていたようです…

リング @matsumoring

@tsujimotter @taketo1024 修正しておくと、円板に一次分数変換で作用する行列でモジュラー群に対応するものは、(p*,q*,q,p)∈GL(2;C)で行列式が4でp,qがGauss整数となるもの、ということですね◎

リング @matsumoring

@tsujimotter @taketo1024 独り言が続いて申し訳ないのですが、行列式が4とすると部分群にならないので、行列式が1でGauss半整数としたほうがよさそうでしたw ボタンに表示するのはGauss整数としたほうが見やすいでしょうね！

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@triprod1829 ありがとうございます！思いのほか反響があって驚いていますw 言われてみればそうですね！！以下に-I,S,Tで生成されると書いてあったことを思い出して咄嗟に３つにしたのですが、よくよく考えると２つで十分ですよね d.hatena.ne.jp/tkss/20060301/…

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@matsumoring リングさん、ありがとうございます！夜中議論に精を出していたのでさっきようやく活動再開しましたw あまりに通知が多くて起こしてしまわないかと心配しながら議論しておりました。。。 @taketo1024

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@matsumoring 続き）補足ありがとうございます！やはり対応する群は「行列式が1かつGauss半整数ですよね。よかったです。ところで、この群はSL(2,C)そのものとは別物ですよね？SL(2,C)の方が大きい群ですか？ @taketo1024

リング @matsumoring

@tsujimotter 質問中、SL(2,C) →SL(2,Z)ですかね？ SL(2,Z)と行列群としては別物ですが、同型だと思います◎ @taketo1024

リング @matsumoring

@tsujimotter 一番大きいGL(2,C)の中でCayley変換を表す行列CによるSL(2,Z)の共役 C SL(2,Z) C^-1 のはずなので… @taketo1024

さのたけと @taketo1024

@matsumoring @tsujimotter ケーリー変換の行列を 1/√2 倍しても変換としてはは変わらないから、SL(2, C) の中で SL(2, Z) と共役な部分群と見れますよね。

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@matsumoring あ、すいません。質問の意図は、「SL(2, C)」という群の定義はなんでしたっけ？というものでした。リングさんが以前のツイートで、SL(2, Z) に対応する円板上の変換を SL(2,C) と呼んでいるような記述があったので @taketo1024

リング @matsumoring

@taketo1024 確かにそうですね！@tsujimotter

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@matsumoring @taketo1024 (1/√2)倍の件すばらしいですね！！これなら、異なる２つのガウス整数 p, q をとって、(p*, q*, q, p) とした行列式が 1 となる 2x2 行列で、問題なさそうですね！この変換群に名前ついてたらいいのにw