予言と預言／与言、あるいは集合論 #prophecy

tricken（Tw以外の居場所は固定参照） @tricken

perspectiveによって固有名にまつわる情報が付け変わる……ん、やっぱグッドマンかつミードなのか。うーむ。

tricken（Tw以外の居場所は固定参照） @tricken

うーん、集合論のヴェン図ってかなり「指示対象としての個」を無視できる抽象的な図なのだなあという思いを新たにした。点ですら「その条件を満たす領域が存在する」というくらいの意味でしかなくなる。

@ke_ta

A={x∈X:P(x)}、B={x∈X:Q(x) } として、演算∪と∩を、A∪B={x∈X:P(x)∨Q(x)}、A∩B={x∈X:P(x)∧Q(x)}で定義すれば外延で考えた場合のブール代数となって、∪と∩を逆に定義すれば内包で考えた場合のブール代数になる？

@ke_ta

多分@trickenさんが言っているように圏論使えば上手いこと外延と内包の双対性が示せそうな気がするけど

tricken（Tw以外の居場所は固定参照） @tricken

どこまで行っても、単一の内包的定義を規定するuniverseから出られない。対象に対する意味の付け替えを考えなければならない。でも、高校数学ではそこまで行かない。だから、整理がつかない。必要条件と十分条件は、あくまで内包的定義についての話である。

tricken（Tw以外の居場所は固定参照） @tricken

……マジで、高校の国語なり公民なりで、述語論理学の初歩と、ツールとしての限界くらい教えてくれれば、大学以降もっとショートカットできたと思うんだがなあ……（自力で考えるモチベーションになったから、まあいいけど）。いやでも、内包／外延とか、基本的にややこしい話だよな……。

@ke_ta

ところでヴェン図を任意の集合に適用していいことは全然自明じゃないように思えるので正当化しないといけない気が　ヴェン図がブール代数の公理を満たしていることは示せるのでそれでOKかしら

tricken（Tw以外の居場所は固定参照） @tricken

「数学Aの集合論の説明だけでは、内包／外延という基本的な概念の取り扱いについての全貌が見えない（どうしてくれる、教えろ、ふざけんな）」というのが、高校生の時の違和感だったのかもしれない。

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@awajiya そうかもしれないです。どこまでいっても「モノそれ自体」にはたどり着けない。

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@thinkeroid 半世紀かけて、教えられる環境がどっかで整えばいいんですけど……どっかで資することができりゃあなあ……（基本的に、「同じ方向性で勉強したかった後続に同じ苦労をして欲しくない」で動いてる）

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ナショナルカリキュラムによって、論理学と統計学と（広義の）情報処理技術とを高校のうちに適切に教えられたら、それはそれは凄い国になるだろうが。でも、文部科学省の予算を増大させても、状況は10年やそこらではかわらんだろー。はっはー。

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「概念／concept」という大きな哲学的論点があって、その次に「論理学・集合論」という微妙に異なりながら重なる分析ツールがあって、でも概念における「内包／connotation」と「外延／denotation」の違いは、圏論くらいまで突っ込まないとその文脈で論じられない。

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@h_kagami ようやく飲み込めるようになってきました。基本的に、「何でも内包的定義で処理する」ための思考法・計算法なのだと言うことが確認できて助かりました。

tricken（Tw以外の居場所は固定参照） @tricken

たぶん、集合の図に「点」なんか打とうとするから、いかんかったのだろう。それは、領域の定義が変わればいくらでも揺らいじゃう雲みたいな図なのだから。（そういう発想ですよ、とわかるような機会が、数学の教科書・授業の中に欲しかった。高校一年のみ、ほぼ通年自習だったから）。

tricken（Tw以外の居場所は固定参照） @tricken

自分が数学でコケたのは、元々あまり得意でなかったのもあるけれど、『オリジナル』をほぼ自習で延々とやらせるだけの自習監督的老教師のもとでまったくフォロー先が見つからなかった事による。さらに秋口に怪我で入院した。IIBから挽回しようにも、一年の溝はもうどうにもならなかったな。

ざん @zhanpon

普通の中高の先生にそんなこと期待できないので、自習可能な教科書を用意して欲しい。それこそアメリカの教科書みたいな分厚さの。

tricken（Tw以外の居場所は固定参照） @tricken

.@zhanpon self-containedってやつですね。

tricken（Tw以外の居場所は固定参照） @tricken

高三で既にファインマン物理学を（学校図書室から借りて）やり始めていた同期が居たことを思い出した。あれはself-containedな物理学教科書らしい。

tricken（Tw以外の居場所は固定参照） @tricken

@snowystreet どもども。ただどっか間違ってたらすみません。僕の知ってる範囲で丁寧に説明したつもりですが、クリスチャンやムスリムの方にとってはやや冷淡な解説かもしれません。

@ke_ta

とりあえず素朴集合論的に考えると　有限の範囲では内包と外延は双対性持っているけど、そもそも無限個の元を持つ集合は外延的には有限記号列で定義できないし、トートロジーで集合を定義できるとすると（{x:x=x}とか）最大の集合が存在することになって矛盾する（カントールのパラドックス）

tricken（Tw以外の居場所は固定参照） @tricken

@zhanpon おお。ちなみにその教科書はなんでしょうか。チャート式とかではなさげ（自分はチャート青を未だに後悔の念と共に保管している）。

tricken（Tw以外の居場所は固定参照） @tricken

.@ke_ta 勉強になります。無限を導入すると、外延で考えるのがさらに難しくなりますね。数え上げていくことの限界というか。

@ke_ta

ちゃんと公理的集合論でやれば、A={a,b,c}の定義はx∈A⇒(x=a∨x=b∨x=c)　であって、外延的定義なんて存在しないわけだけど

@ke_ta

まあ有限個だったら「外延的定義」を内包的に定義する（ややこしい）ことは可能、という話

ざん @zhanpon

@tricken そうですね。僕も中高6年間のほとんどの期間数学が全然ダメだったのですが、高三の秋頃に自分で数学書を読んで勉強し始めて分かるようになりました。