予言と預言／与言、あるいは集合論 #prophecy

ざん @zhanpon

@h_kagami 内包的定義と本質的に異なった概念を持つ外延的定義というのがある訳ではない気がしますね。

ざん @zhanpon

@tricken 志賀浩二『集合への30講』だった気がします。通読するには厳密さが足りなかったので、素朴集合論については最終的には他の本（松坂和夫『集合・位相入門』）で勉強しましたが。30講シリーズは数学的な方法論について具体的な分野を通して勉強するにはいい本だと思います。

@ke_ta

@tricken あ、そんなに自信があるわけではないので話半分に聞いていただければとー　A={a,b,c}の定義は確かですが

@ke_ta

直接ヴェン図からべき集合代数へのうめこみを作れることを示した方が良いか

@ke_ta

例えば２つの交わった円A、Bからなるヴェン図は2^4個の元を持つブール代数として定式化できるわけだけど

@ke_ta

任意の集合代数P(X)（集合Xの部分集合全体）に対して、２つの円A、BからP(X)への写像φを任意にとってやれば、その写像は2^4個のヴェン図の元から、φ（A）とφ（B）が生成する部分代数への準同型に一意に拡張可能なことを示せる

@ke_ta

φ（A）≠φ（B）ならヴェン図とその部分代数は同型になるが、そうでなくても準同型の定義によってド・モルガンの法則などのヴェン図で一目瞭然な命題がその部分代数でも成立することがわかる

@ke_ta

写像を準同型へと拡張するには（拡張前も拡張後も同じ記号φで表すと） φ（x+y）=φ(x)∪φ(y)、φ(x・y)＝φ(x)∩φ(y)　と帰納的に定義してやればいい。

lequinharay @lequinharay

@tricken 論理学と統計学はいろいろと早回しに準備しないと、難しそうですね。数学的な扱いとか。いろいろ前倒ししないと高校での履修は難しそうですね。個人的には好きな分野だから、やればいいのにとは思いますが

tricken（Tw以外の居場所は固定参照） @tricken

@lequinharay 「解らないと落ちこぼれが更に増えるだろ」って話がありますが、抽象的な話が好きな人文・社会科学系の素養を持った人が、面白い理数系の学問をやる受け皿が高校にあんまりなかったなーと思うんですよね。そこは大学で「いわゆる文系」が学び直す部分でもあるんですよね。

ざん @zhanpon

@h_kagami あ、それは分かってるつもりです。その表記上の問題が哲学の話だと重要な区別があるのかもしれないと思ったので。 http://twitter.com/zhanpon/status/17838788776

lequinharay @lequinharay

@tricken 確かに。僕も大学入って統計なんかもガリガリやりましたし。文転組だったのでまだ楽だったんだとは思いますけどね。 詰め込み云々との関係は教育の専門のトレンドと見比べてどうなってくるかきになるところです

@ke_ta

部分代数といってるのは全部集合代数の部分代数　名前つけとけばよかった　まあこれで正当化できたはず

@ke_ta

交わりを持つ２つの円について見て取れるド・モルガンの法則などが、交わりをもたない２つの集合や、また１つの集合についても成立する、というのはなんでだろーという素朴な疑問を昔持った、ような気がしないでもない

@ke_ta

今のやり方だと、ド・モルガンの法則を古典命題論理で証明するより、ベン図の使用を正当化する方が予備知識が大分多く必要だなー

@ke_ta

一般に、任意のブール代数から集合代数へのうめこみが存在する、という命題が成立するらしい（Stoneの表現定理）

@ke_ta

集合代数→ある集合代数

@ke_ta

まあ数学クラスタにツッコミ入れられたりすると嬉しい

@ke_ta

あ、ヴェン図と集合代数の部分代数が同型になる条件もっと強くないとだめだった　あとφ（０）＝∅、φ（１）＝X、φ（-x）=X＼φ(x) あたりの条件を忘れてた　それからヴェン図においてブール代数の言語（＋、・、－、０、１）の解釈は自然に定義できるので略

@ke_ta

部分代数→φ（A）とφ（B）から生成される部分代数

@ke_ta

正則言語に関する定理の証明を反芻しながら寝転がっている　少し眠い

lequinharay @lequinharay

@tricken 文系のための高校理系レベル数学理科の講座が実際にありましたね。僕は元理系だったので取りませんでしたが。 ちなみに理系の為の高校世界史は無かったです。コレは凄く欲しかったのに！