集合論の無矛盾性と巨大基数

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@ytb_at_twt はい。一方で，Reinhardt 基数の存在（「j: V to V でnon-trivialな初等埋め込みが存在する」という言明を集合論の言語に"j"というpredicateを追加して表現した公理）がZFCと矛盾することはわかっています。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@ytb_at_twt そして，この公理がZFと矛盾するかどうかはまだわかっていません。現在は，この公理より強い巨大基数たち（Berkeley基数とか）が考えられていて，それらがZFと矛盾するかどうかが研究されています。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@ytb_at_twt Reinhardt基数の存在とZFCが矛盾する証明も，何らかの自己言及について議論する，というものではなく，j: V to M から計算できるある順序数までV と M が一致したら（ZFCでは）矛盾が出る，というものです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@ytb_at_twt というわけで，どのくらい強い巨大基数の存在が ZFC (あるいはZF) と矛盾するか，というのは素朴に考えても推測しづらい問いなんです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@ytb_at_twt だからこそ，僕らはとても強い巨大基数を積極的に使い続けていきます。みんなが納得する矛盾が出てくるまで。