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alg_d「公理追加型数学」

数学においても「追加」が重要な役割を果たすということが分かってきた
alg-d 数学 オフ会 kansaimath 数学クラスタ
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前日
alg_d @alg_d
講演スライド、107ページ👊

 

 

GengaQ @kyow_KU
圏を定義しようとして毎回、まあこれは集合になるとは限らず一般にクラスと呼ばれるものになるんですが僕には聞かないでください…(小声)ってなるのほんま辛いからなんとかしたい
alg_d @alg_d
@kyow_KU Grothendieck宇宙仮定すれば解決だ😊
GengaQ @kyow_KU
@alg_d つまりどういうことですかね
alg_d @alg_d
@kyow_KU つまり、Grothendieck宇宙を仮定するということだ
GengaQ @kyow_KU
@alg_d なるほど完全に理解しました()
alg_d @alg_d
@kyow_KU Grothendieck宇宙と呼ばれる集合を使うと、クラスになっちゃうような圏を考えなくて済むようになるので、圏を定義するとき集合だと言ってしまってよくなるわけですね。
GengaQ @kyow_KU
@alg_d へぇーそういうものだったんですか でもそんなことをしちゃって大丈夫なんですか?全ての集合の集まり云々の話と矛盾してしまう気がしてしまうのですがどうなんでしょう
alg_d @alg_d
@kyow_KU Grothendieck宇宙を取る人の立場というのは、極端な言い方をすると「Grothendieck宇宙に含まれない集合は集合とみなさない」というものです。Grothendieck宇宙と呼ばれる集合Uを一つ取ったとき、Uに含まれる集合を「U-smallな集合」と
alg_d @alg_d
@kyow_KU いいます。この立場では、基本的には「U-small」なもののみ考えます。例えば「群」を考えるときはU-smallな群(底集合がU-smallな群)だけ考えるし、「位相空間」を考えるときはU-smallな位相空間(底集合がU-smallな位相空間)だけを考えます。
alg_d @alg_d
@kyow_KU すると群の圏Grp(正確に言えばU-smallな群の圏)は、対象の集まりも射の集まりも集合になるし、位相空間の圏Top(正確に言えばU-smallな位相空間の圏)も、対象の集まりも射の集まりも集合になります。
alg_d @alg_d
@kyow_KU もちろん、テキトーな集合Uを取ってこんなことを考えてしまうと、GrpとかTopが(余)完備にならなかったりしますが、Grothendieck宇宙はそういうのがうまくいくように定義されているわけです。
GengaQ @kyow_KU
@alg_d 対象の集まりも射の集まりもU-smallでない集合になるだけである、と言えるようにする為に上手い公理を定めたのがGrothendieck宇宙という理解でいいですかね?
alg_d @alg_d
@kyow_KU いいと思いますが、僕自身はGrothendieck宇宙を仮定したことがなくて、Grothendieck宇宙がどのくらい本質的なことなのかはよく分からないです。(例えばSGAなんかはGrothendieck宇宙を仮定していることで有名ですね)
GengaQ @kyow_KU
@alg_d なるほど、Grothendieck宇宙を仮定する立場でってもっと一般的な立場と比較してどういうものなんですかね?
alg_d @alg_d
@kyow_KU 「Grothendieck宇宙を仮定する立場で」と付けたのは、例えばZFCではGrothendieck宇宙が存在することを証明できないからです。
GengaQ @kyow_KU
@alg_d なるほどです 色々ありがとうございました!
alg_d @alg_d
げんがくさばいばと会話さばいばしてたらねるさばいばが遅くさばいばなってしまった
ぴあのん @piano2683
@この時間まで起きてるつどい各位 絶対に遅刻するなよ

 

 

 

あさ
alg_d @alg_d
ワヘイヘイがもう会場入りして導来圏語ってる
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