【自分用まとめ】モデル理論に関する雑感とそれに続く議論

ぱっぷす＝むぎゅたん @Pappus_Mugyutan

@piano2683 だいぶやばいですねこれ

ぴあのん @piano2683

classifying toposは代数幾何で言うところのZariski toposやetale toposのような立ち位置ですので、 「toposは代数的対象と幾何的対象をつなぐもの」という視点を推し進めればモデル理論を幾何学的に捉えることが可能になるのではと予想しています。

原子心母 @atomotheart

@piano2683 代数的な方程式系と解空間の間の対応みたいな話の一般化として。代数的な方程式系の様な束縛条件を与える方法をもっと一般化して(例えばヘイティング代数の中での方程式系とか)も零点定理みたいな事が成り立つという話は聞いた事あります。

ぴあのん @piano2683

@atomotheart ありがとうございます。いま調べてみたのですが、もしかして arxiv.org/abs/1412.8692 あたりの研究のことでしょうか。

原子心母 @atomotheart

@piano2683 人から聞いた話だったので。この論文は知りませんでした。面白そうな論文教えてくれて有難うございます。パッとみたら自分の考えてる問題とも関連有りそうなのでじっくり読んでみます。(普通代数多様体の様に思えないものを多様体の様に見做すフレームワーク)

ぴあのん @piano2683

. @atomotheart モデル理論の文脈で私がイメージしていたのは、一般の代数構造と論理式集合（方程式系に相当）に対して解集合の形を見ることでした。 モデル理論において重要な概念にtype（型理論のそれとは異なる）というものがあります。typeは次のような性質を持ちます。

ぴあのん @piano2683

. @atomotheart ・type全体はStone空間を成す ・代数閉体上のn-typeはn変数多項式環の素イデアルに対応する つまり、type全体の空間はアフィンスペクトラムのようになっています。

ぴあのん @piano2683

. @atomotheart そこで、モデル理論的スキームのようなものを代数幾何のアナロジーで構成して、幾何的な見方ができないかと考えたわけです。

原子心母 @atomotheart

@piano2683 先程教えて頂いた論文のpart 2の4-2ぐらいまで読んでみましたが凄く一般的なのでびっくりしました。スキーム論と言った時にどういう事を想定されてますか？零点定理みたいな事は既にある訳で。私は(∞-)圏をその部分圏でblow upしたりとか考えてます。

原子心母 @atomotheart

@piano2683 私の圏論的代数幾何の設定では、加法圏CをSpec Z[t]/(t^2)でbase changeすると、C上の複体の圏になります。スキーム論をやるからには、被約でないtype theoryとかに興味あります。例えば、古典的なスキーム論では、続

原子心母 @atomotheart

@piano2683 環Aのイデアルaに対してV(a)とV(a^2)は位相的には区別付きませんが、座標環は違います。つまり、命題pに対して、pとp∧pを区別したい論理体系とかに興味があります。

ぴあのん @piano2683

@atomotheart スキーム論と言っているのは、代数系どうしを言語や理論の表し方依存しない方法で比較するための幾何的な枠組みを意図しています。また、モデル理論では定義可能集合が埋め込まれているambient spaceが決められているので、そこもなんとかしたいです。

ぴあのん @piano2683

@atomotheart スキーム論が構築できたとしてどう使うかはまだ深く考えられていないところです。 あと補足ですが、type全体に入る位相は、Zariski位相よりも細かい位相（構成可能位相）になっています。この意味で、通常の代数幾何とは異なる幾何を考えなければなりません。

原子心母 @atomotheart

@piano2683 言語や理論の表示という事を多様体論の局所座標系の取り方に依らないみたいに議論する枠組みを作る、という事ですかね？面白そうです。

原子心母 @atomotheart

@piano2683 あとこれは私の妄想なんですが素数と結び目が似てると言ってる人は多いのですが両者が何かの理論のさっきの意味で局所座標系の取り方によって結び目が出て来たり代数体の整数環が出て来るみたいな説明を与える枠組みを作りたいと思ってます。

ぴあのん @piano2683

@atomotheart 念頭に置いてるのはブール環とブール代数のようにclassifying toposが同値になるような代数系ですね。（Elephantで言うところのMorita equivalenceです）

原子心母 @atomotheart

@piano2683 カテゴリーを先に与えておいて、それと圏同値になる理論はそのカテゴリーを「とある理論」で局所座標表示したと思う感じですかね。私も(安定)∞圏にしてhomotopy圏が一致するものは等価と見做すという事をよくやります。

ぴあのん @piano2683

@atomotheart はい。そのような感じで捉えられると面白いなと。

原子心母 @atomotheart

@piano2683 一つ思い出したのは加群のmodel theoryとしてZiegler spectrumというのがあります。それはZariski位相のdualになってるという話があります。

ぴあのん @piano2683

@atomotheart Ziegler spectrumについて、情報ありがとうございます。nLabで調べてみたらいい感じにsyntax-semantics dualityらしきものが成り立つそうなので論文読んでみます。 ncatlab.org/nlab/show/Zieg…

原子心母 @atomotheart

@piano2683 私もこういう研究のスタートはZiegler spectrumから始めました。こういう感じの研究してる人日本にそこそこいるのでいつか勉強会開けたら面白いですね

ぴあのん @piano2683

@atomotheart 加群のモデル理論を研究されている方がいらっしゃるのですか？参考までに教えていただきたいのですが…

原子心母 @atomotheart

@piano2683 加群のモデル理論というつもりで研究してないみたいです。代数幾何とか多元環の表現論にモチベーションがあってKrause, Garkusha, Prest, Herzogなどの論文からZiegler spectrumに辿り着いたという感じです。

ぴあのん @piano2683

@atomotheart Zieglerの原論文を見てみたのですが、かなりモデル理論的に書かれている（特に後半）ので界隈の方なのかと思いました…。 でもPrestの記事ではモデル理論的側面を抑えて書いてあるので、応用的モチベーションから入っても十分勉強できそうですね。