【自分用まとめ】モデル理論に関する雑感とそれに続く議論

ぴあのん @piano2683

@atomotheart Prestの記事はこちらです。eprints.ma.man.ac.uk/281/

原子心母 @atomotheart

@piano2683 代数幾何から興味を持つと、環Aのイデアルa, bに対してイデアルの積abとa∩bは一般に異なるのにVを取ると一致してしまう事がHeyting代数的にみようとすると不思議です。∧の他にもう一つ且つの様な演算のある言語体系(イデアルの集合がモデル)が自然に必要

ぴあのん @piano2683

@atomotheart なるほど。abとa∩bの違いを抽象的に捉えようとすると、もう少し別な枠組みが代数・幾何の双方に必要なのかもしれませんね。

原子心母 @atomotheart

@piano2683 昨日も呟きましたが、被約でないスキームと被約化したスキームの違いを∞導来圏の情報から引き出すにはテンソル構造を使うという導来幾何的なストーリーに対応するロジックサイドのストーリーとしてHeyting代数を拡張したものを考えるなどです。

ぴあのん @piano2683

@atomotheart そういう意味で昨日の被約性の話が出てきたんですね。ロジック側の対応物というと、もしかしたら線形論理の代数的な構造あたりは関係あるかもしれません。（聞きかじった程度なので全く的外れかもしれませんが）

原子心母 @atomotheart

@piano2683 私も独自に理論を作ったのですけどどうも線形論理の話と等価らしいというコメントを頂いた事あります。最近はロジックサイドの対応物をはっきりさせなくても私の目標は達成出来るので保留にしてますが気にはなってます。

原子心母 @atomotheart

@piano2683 色々と教えて下さり有難うございます。多分モデル理論側の人と代数幾何側、導来幾何サイドからの人が集まって勉強会やったら色々と情報交換出来る気がします。

ぴあのん @piano2683

@atomotheart こちらこそ、刺激的な議論をありがとうございます！モデル理論界隈だと具体的な代数幾何は詳しい人はいますが、「普遍代数幾何」的な人は思い当たりません。界隈はかなり内輪な集まりになっていますが、いつか他分野との交流の機会を持てればいいなと思っています。

ぴあのん @piano2683

“Homotopy Model Theory”という論文がarXivにあがってた。 arxiv.org/abs/1603.03092 集合の代わりに、ホモトピー型に構造が入ったモデル理論とのこと。 #ぴあのんメモ

ぴあのん @piano2683

しかし、この手の研究（モデル理論の一般化）によくあるように、モデル理論的に面白そうな結果ではなさそう。 私の知る限り多くの研究が、一通りの意味論と統語論を展開して、完全性定理などの基礎的な定理を証明しましたよ程度のもので、モデル理論に新しい知見を与えてくれるものはほとんどない。

ぴあのん @piano2683

・超積などのモデルの構成 ・定義可能集合が幾何的にどのような振る舞いをするか ・安定性理論との関わり みたいな内容を含んでないのに「モデル理論」と名づけてほしくないというのが正直な意見。この論文に関しては続編があるらしいので、それが出ないとなんとも言えない感もあるけど。