Boolean valued second order logic

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

懸案の論文（の一つ）が無事 accept された。やたっ！ http://t.co/o0TkAbWIdy

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論文見るのめんどいからスライドがいい，という人はこちらをどうぞ。（最近つらつら考えていることも少し書いてあります。） http://t.co/bEllw0HL0F

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この論文のきっかけについてつぶやいてみようと思う。

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詳しくは知らないけど，foundation of mathematics としての second order logic を研究している哲学者の方々がいらっしゃるようで。

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そのコミュニティと set theory community の両方に属している共著者 (Jouko Väänänen) は，「Woodin の Ω-logic って higher order logic の枠組みで言ったらどんなものなの？」と聞かれたそうで。

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それがこのネタのきっかけの一つ。 Woodin の Ω-logic と Boolean valued second order logic は，semantics についてきれいな対応が得られます。

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Second order logic なんてどうでもいいから，Woodin の Ω-logic が知りたい，という方は，こちらの前半部分をどうぞ。 http://t.co/4W4yJCNZcE

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もう一つの motivation は，second order logic を logic として見たときに得られるものだそうで。

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Second order logic には主に二つの semantics があって，一つは full semantics, もう一つは Henkin semantics と呼ばれているようで。

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Full semantics は，second order variable の domain として first order universe の full power set を採用して semantics を与えるもので，表現力が強いものの複雑で使い勝手が悪い。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

Henkin semantics は，任意の second order formula に対する Comprehension Axiom を満たす second order structure (Henkin models) を考えて semantics を与えるもので，

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

first order logic と本質的にほぼ同じで，simple だけど表現力があまりない。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

これら二つの semantics の間にあって，もうちょっと使い勝手のいいものってないかなぁ，ということで考えられたのが Boolean valued second order logic.

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Abstract logic の専門家である共著者は，logical properties (e.g., completeness, complexity of validity, compactness number) がわかると logic がかなりわかった気になるようで，

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

Boolean valued second order logic の logical properties について，Ω-logic のテクニックを使って調べてまとめたものが，この論文です。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

このネタやり始めたのは，ヘルシンキに移ってきて間もないころで，ちょうど Ω-logic の勉強しているときでした。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

論文の基本的な部分はヘルシンキでやって，後半のほうは，バークレーに移って Ω-logic の勉強を続けているときに完成させました。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

いいタイミングでいいネタに巡りあえて，ラッキーでした。