量子力学ノート #qmstd

相転移P @phasetr

#mathphys_on_qm 定義域が問題になる理由：エネルギーが無限大になる状態を考えても意味がないので，それははじめから排除したい．これを数学的にきちんと言っただけ

相転移P @phasetr

#mathphys_on_qm 予備知識：線型代数，あとルベーグ積分が「使える」こと．付録Aに「測度と積分」があるがこれだけ見ても多分「使えない」だろう．また「使う」時はルベーグ積分の定義と基本的諸性質を繰り返し使うので，結局基礎理論が身につける必要はある

相転移P @phasetr

#mathphys_on_qm 一章は内積空間の定義からはじまりヒルベルト空間の基本的な部分，ユニタリ同値性，完備化で終わる．全て大事なのできちんと身につけられたい．演習問題6では経路積分の困難についての基本的命題が出ている．7，8，9ではルジャンドル，エルミート，ラゲールが出る

相転移P @phasetr

#mathphys_on_qm 2章のスペクトル理論はとても大事．対角化の無限次元化であるスペクトル分解定理を示す．定義域の話がただひたすらに面倒だが，手を抜くことが物理的に許されていないことは既に述べた．

相転移P @phasetr

#mathphys_on_qm スペクトルとは何ぞ，という話だが固有値の一般化だ．いわゆる「連続スペクトル」があるので有限次元の線型代数で言う固有値だけでは話が終わらないので，一般化させる必要がある

相転移P @phasetr

#mathphys_on_qm 固有値と違い固有方程式から直接定義することが出来ないことに注意されたい．こう定義する：まず大雑把に言って作用素（演算子）Aに対して，(A-λ)が逆作用素をもつとき，複素数λはAの【レゾルベント】に属すという．

相転移P @phasetr

#mathphys_on_qm 複素数の中でのレゾルベントの補集合をスペクトルという．そして物理的に一番大事な作用素のクラスを論じる部分に入る．対称作用素と自己共役作用素だ．いわゆる「エルミート」だが，区別をつける必要がある

相転移P @phasetr

#mathphys_on_qm 詳しい話は「量子現象の数理」に書いてあるが，（閉）対称作用素のスペクトルは1．複素数全体，2．上半平面全体，3．下半平面全体，4．実数の一部となることが分かっている．物理としては「固有値」が実数になってくれないと困るので対称程度では困る

相転移P @phasetr

#mathphys_on_qm 閉対称だが自己共役で無い例がp136にあがっている．本質的自己共役性という話もあり，本質的に自己共役でない閉対称作用素で，自己共役拡大が無限個ある作用素の例として，p146にとある微分作用素が上がっている

相転移P @phasetr

#mathphys_on_qm 2.4で射影について論じた後2.5からスペクトル族の話になり，有界作用素に対するスペクトル定理が示される．応用上は次にやるスペクトル測度が便利．これは射影作用素値測度のこと．測度というと面積の類推から実数値だと思うかもしれないが射影値でも構わない

相転移P @phasetr

#mathphys_on_qm 2.8の演算子解析は「作用素の関数」をスペクトル定理で定義するという話．少なくともU_t=e^{itH}のようなハミルトニアンの指数関数は必要なので，ついでに一般にやってしまおうという企画．あとはケーリー変換で非有界版を証明して1巻が終わる

ぶるじけ 2015 ～人生の没落～ @bluesy_k

#mathphys_on_qm ルベーグ積分に関しては実はこれの付録しか読んだことがないのですがとりあえずユーザーになるのに適した本って何かありますか？

相転移P @phasetr

#mathphys_on_qm 絶版のようだが http://amzn.to/epJj6W は江沢先生が訳しているので信頼出来る可能性が高いとみている．http://amzn.to/gms5G5 読んだこと無いので精度保証できないがこんなのもあった．

ぶるじけ 2015 ～人生の没落～ @bluesy_k

#mathphys_on_qm　抄)伊藤『ルベーグ積分入門』と柴田『ルベーグ積分論』。どちらも測度論から始まっていて、柴田先生のほうが証明は丁寧という印象。 http://amzn.to/gCN8xP http://amzn.to/hanoqT (via su48us 氏)

ぶるじけ 2015 ～人生の没落～ @bluesy_k

#mathphys_on_qm fovorites の整理をしていたら patho_logic さんが、ルベーグ積分の独習用テキストとして新井 仁之『ルベーグ積分講義―ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち 』 を勧められていたのを発見。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

日付変わったのでWeb日記更新→ http://goo.gl/ZCbUi 昨日書いた「「（｜よくわかる量子力学＞＋｜まるでわからない量子力学＞）÷√２」というタイトルの本が出るという話は嘘でした。でも「よくわかる量子力学」という本はちゃんと出ます(^_^;)。

chibaf @chibaf

「古典と量子の間」は久々にわくわくできる本。 http://www.iwanami.co.jp/moreinfo/0111110/top.html