朝の稠密な数学 TL
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あなちゃん
@anairetta
@tsurunokaraage 代数の本だとp進体に一般化したいから完備化でやらないかな。解析の本でも一般の距離空間に一般化したいからしそうだけどなぁ。(あんまRの定義が解説してある本をみたことない)
2011-03-30 08:37:55
鶴野 唐揚
@tsurunokaraage
@annihltr 距離空間Qの任意のコーシー列をとってきて、差が0に収束するときを同値関係として割ってできる空間がRです！みたいな感じでいいんだっけ？
2011-03-30 08:42:36
鶴野 唐揚
@tsurunokaraage
@annihltr ただ、Qを距離空間と見てる時点で、実数使ってるっぽくてなんか気持ち悪い。もちろん、Q→Rの完備化には、実数を全く使わないけどな。
2011-03-30 08:45:12
Tomoki UDA
@t_uda
@tsurunokaraage 集合と位相の本の附録で載ってたりするよ。あとデデキントの切断とかを実数の公理にしたとしても結局は同値な定義な訳だし(というと台無し？)。 [疎外されない春]
2011-03-30 08:42:59
鶴野 唐揚
@tsurunokaraage
@t_uda 距離空間としての閉包は、この距離から入る位相での閉包と一致する？たぶん、当然一致するとは思うが…ここら辺証明忘れたｗ
2011-03-30 08:48:45
鶴野 唐揚
@tsurunokaraage
１回生の微分積分学の一番初めの授業でやった、実数の連続とかデデキント切断とか区間縮小法とかの同値性を、完全に忘れたｗ
2011-03-30 08:50:46
エヴィン・ラティエ
@evinlatie
(2)[定義] 順序集合Xが稠密であるとは次を満たすこと：∀a, b∈X ∃c∈X s.t. a<c<b. [例] 有理数全体Qは（通常の順序において）稠密。実数全体Rも稠密。
2011-03-30 09:24:05
エヴィン・ラティエ
@evinlatie
＿ﾉ乙(､ﾝ､)＿ ｡oO（ 順序集合における稠密の定義で任意のa、bを取ってくるときの仮定a<bを書き忘れてる事に気づいたが、文脈からたぶん分かるだろうから放置しておく・・・というか、定義を全順序集合の範囲に狭めておいたほうが良かったかも・・・誤植程度かな・・・ ） Zzz..
2011-03-31 01:06:34
エヴィン・ラティエ
@evinlatie
＿ﾉ乙(､ﾝ､)＿ ｡oO（ というか、「順序集合」といった場合に半順序集合と全順序集合のどちらを指しているのかが分かりにくい・・・まあいいや・・・流れで分かるっしょ・・・適当でスマン・・・以上寝言 ） Zzz..
2011-03-31 01:13:46
エヴィン・ラティエ
@evinlatie
(3)[定理1] 次の(i)-(iii)を満たす任意の全順序集合Xは有理数全体Qと順序同型である：(i)Xは（先程の定義において）稠密 (ii)Xは最小元、最大元を持たない (iii)Xは可算集合
2011-03-30 09:37:26
エヴィン・ラティエ
@evinlatie
(4)[定理2] 次の(i)-(iv)を満たす任意の全順序集合Xは実数全体Rと順序同型である：(i)Xは（先程の定義において）稠密 (ii)Xは最小元、最大元を持たない (iii)Xは（順序位相において）可分 (iv)任意のXの空でない有界な部分集合は上限を持つ
2011-03-30 09:49:33
エヴィン・ラティエ
@evinlatie
(6) [定理1の証明の投げやり] back-and-forth論法を使う。 [定理2の証明の投げやり] 定理1によりXの稠密な可算部分集合とQとの間に順序同型写像が存在するので、それを拡張して欲しい同型写像を作る。
2011-03-30 10:00:05
エヴィン・ラティエ
@evinlatie
(7) [最大の投げやり] この流れからSHの話をするのは自然だが・・・＿ﾉ乙(､ﾝ､)＿ ｡oO（ MPが足りない・・・集合論クラスタの方・・・誰か頼む・・・ ）
2011-03-30 10:04:11