数学「1ツイート証明」 問題・解答・解説 （No.021～No.040）
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tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 以下、同様に R(3^k) が 3^k で割り切れることが示せます。厳密には数学的帰納法を用いればよいでしょう。
2012-07-28 00:29:45
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 本当は別解を紹介したいのですが、実はまだ思いついていません。解答発表までに見つかるだろうと高をくくっていました。
2012-07-28 00:32:38
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 何人かの方が言及していましたが、鳩ノ巣原理が使えそうな感じがします。背理法もいけそうです。先の僕の証明のように、条件を満たす数Nに対して、f(N)も条件を満たすような、操作fが他にもありそうです。このNo.022については、引き続き解答を募りたいです。
2012-07-28 00:36:06
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof No.020とNo.022は連作でした。元ネタを紹介しましょう。No.020での性質をもつ数を「ハーシャッド数」といいます。命名したのは、インドの数学者D・R・カプレカー。「カプレカー操作」にも名を残す人物です。
2012-07-28 00:40:15
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof カプレカーが名付けた「ハーシャッド数」。「ハーシャッド」はサンスクリット語で「大きな喜び」を意味するそうです。
2012-07-28 00:43:45
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof また、この「ハーシャッド数」は「ニーベン数」とも呼ばれているのだとか。こちらはアメリカの数学者イヴァン・ニーベンの名が由来となっています。ニーベンは、円周率πが無理数であることの初等的証明を与えたことでも知られています。
2012-07-28 00:44:15
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof というわけで「数学蘊蓄」に逃げてみました(笑)。ハーシャッド数の存在を知ってNo.020を作り、「0なし縛り」を試してNo.022を仕立て上げました。オリジナル問題です。類似問題をご存知の方は、ご一報いただけると嬉しいです。別解も引き続き募集します。
2012-07-28 00:48:25▼No.023 星型五角形と直線の交点
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 【数学／図形】星型五角形と直線との交点は高々4点になることを証明せよ。 http://t.co/YWfVeyet
2012-07-23 00:11:29★解答・解説
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
（証明）交点の数を多くするには、AB、BC、…と線分をたどるたびに直線lと交わるのがよい。すると、2点A、Eは直線lに対して同じ側に存在し、線分AEは直線lと交わらない。 RT #1tw_proof 星型五角形と直線との交点… http://t.co/YWfVeyet
2012-07-29 00:47:59
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 字数制限で省いた点が多々あります。補足します。証明全体は背理法です。5つの交点をもつなら、星型五角形をなす5線分がすべて直線lと交わらなくてはなりません。すると、どれか1つの線分が直線lと交わりえないという発想です。
2012-07-29 00:51:23
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 直線lが先にあって、反復横跳びのように直線lをまたぎながら、線分AB、BC、CD、DE、EAと往復するイメージです。すると、3点A、C、Eは直線lに対して同じ側に存在。EAだけは直線lをまたぎません。
2012-07-29 00:54:24
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof この問題は奇偶（パリティ）が根幹にあります。No.011 http://t.co/3c0vRJFU と同じ類の問題でした。
2012-07-29 00:59:14
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof ここで発想元となった原題を紹介します。出典は『数学のひろば1 ―柔らかい思考を育てる問題集―』p.12です。
2012-07-29 01:00:41↑2013/04/19追記
絶版されていた出典が再版されました。PCなら下の「みんなのおすすめ商品」にも掲載しています。
『やわらかな思考を育てる数学問題集(1)』p.16 第1章 問4
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof （No.023の元ネタ）11本の線分をつないで閉じた道をつくります。1本の直線がこの11本のすべての線分と交わる（頂点を含まない）ということはあるでしょうか。
2012-07-29 01:01:35
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof このままでは素っ気ないと思い、星型五角形に改め出題しました。おかげで厳密な証明をするには、多少手間がかかります。
2012-07-29 01:03:09
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 先の僕の証明は厳密さに欠けます。直線l上に頂点がある場合の議論をしていません。とはいえ、5頂点を通る直線などあるはずもなく、どの場合でも交点の数は（先の往復パターンに比べて）少なくなります。アイデア優先でゴリ押ししてしまいました。
2012-07-29 01:06:25
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof ここでいただいた証明をリツイートいたします。ここも厳密さよりではなく、その巧みなアイデアを味わってもらえると嬉しいです。
2012-07-29 01:08:06
龍一郎
@K_Ryuichirou
【数学／図形】星型五角形と直線との交点は高々4点になることを証明せよ。 五角形を赤、その周囲の三角形を青、それ以外を白く塗る。五角形の頂点を通らない方が交点は増えるので、最大の交点をもつ直線は白青赤青白の領域を通る。このとき交点は４つ。 @tb_lb #1tw_proof
2012-07-28 19:01:31
龍一郎
@K_Ryuichirou
さっきの " #1tw_proof 【数学／図形】星型五角形と直線との交点は高々4点になることを証明せよ。 http://t.co/mlivJPfd " についてだけど、結局こういう図形を考えればいいんだよね。ターゲットマークみたいな。 http://t.co/MGG8qDAE
2012-07-28 20:15:17
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 他のパターンも存在するのですが、どの場合でも交点が高々4点になることは変わりません。交点の数に注目するのではなく、通過する領域の数に目を向けるというアイデアを味わいたいものです。
2012-07-29 01:12:34▼No.024 数直線上の赤い点と青い点
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 【数学/離散数学】点A〜赤点の距離の和＝点B〜青点の距離の和 を1ツイートで証明せよ。 http://t.co/HXWPzOpJ
2012-07-25 00:14:36