あみだくじと群論（あるいは一刻館に関する考察）
-
- いいね！2
四一郎
@yon_ichiro
（14）さて、「（45）→（56）は一二三四五六を一二三五六四にする」のですが、では(56)→(45)はどうでしょう。これは結果が違う！ 一二三四五六が一二三六四五になる。順番は大事なんですねー。あの話も、ちょっとした順序の違いでずいぶん大変だった。って、何の話でしょう。
2013-02-15 23:52:47
四一郎
@yon_ichiro
（15）ただし、そういった直後で何ですが、いつでも順序が大切なわけではない。（12）と（56）は、どっちが先でも同じことです。つまり、(12)→(56)と（56）→(12)の効果は同じです。離れている部屋の引越しは、こちらの先にあろうが後にあろうが関係ないんですね。
2013-02-15 23:55:10
四一郎
@yon_ichiro
@pascal_api @maruX @swkk だーっ！ いろいろ目に入りつつも数学だけツイートしてましたが、『人魚の森』はいけません！ あれは読んでしまっていまだにつらい思いが消えません......名作ですね。ううう。
2013-02-15 23:59:53
四一郎
@yon_ichiro
@pascal_api @maruX @swkk あの、なりそこねにされてしまうお嬢さんがかわいそうでかわいそうで......あの、千切れてしまった指輪......ううう。
2013-02-16 01:46:26
四一郎
@yon_ichiro
（16）さて、ここまでは、隣接した部屋同士の引越ししか考えていませんでしたが、それでは、離れた部屋同士の引越しはどうでしょうか？ たとえば、1号室の一の瀬さんと、５号室の五代さんが部屋を取り替えたい（transpositionといいます）として、これはあみだくじで可能でしょうか？
2013-02-15 23:58:23
四一郎
@yon_ichiro
（17）これが可能だ、というところがポイントです。まず、(12)→(23)→(34)→(45)とやります。一の瀬さんが一部屋ずつ住人を押しのけていって、５号室に到達します。この時点で、一二三四五六だったのが、二三四五一六になっていますね。ご確認ください。
2013-02-16 00:02:22
四一郎
@yon_ichiro
（18）そこで今度は、(34)→(23)→(12)とやるわけです。無理やりの引越しに納得していなかった五代君以外の住人が、気の弱そうな五代君に「そこ俺の部屋だろ替われよ」と迫った感じ？ これで、二三四五一六だったのが五二三四一六になったはずです。一と五が入れ替わり、あとは不変。
2013-02-16 00:05:37
四一郎
@yon_ichiro
（19）まとめると、(12)→(23)→(34)→(45)→(34)→(23)→(12)によって、1号室と5号室の住人入れ替えは可能、ということ。どんな二つの部屋でも、こういう感じでやれば、あみだくじで－つまり、隣接部屋間での引越しの組み合わせだけで－できることがわかりました。
2013-02-16 00:09:26
四一郎
@yon_ichiro
（19番外）アホみたいなたとえ話で説明していますが、これも立派な数学的結果です。象牙の塔から宣告すれば「n次対称群の任意の互換は、いくつかの隣接互換の合成で表される」ということになります。でも、内容はなんにも変わってないんですよ。むやみにありがたがったり敬遠したりしないでいいよ。
2013-02-16 00:11:57
四一郎
@yon_ichiro
（20）さてこれで、【1】に答える準備が完了です。どんな結果でもあみだくじは作れるか？ ですが、某木造アパートのたとえでいうと「隣同士の引越しだけで、住人の好き勝手な希望通りの配置換えは可能か？」ということです。たとえば、「三六四一五二」にしたい、ということになったとしましょう。
2013-02-16 00:15:09
四一郎
@yon_ichiro
（21）まず必要な分析は、引越しする上で、互いに関係のある住人とそうでない住人を見分けることです。「三六四一五二」が目標ならば、『二が６へ、六が２へ』、『一が４へ、四が３へ、三が１へ』の二グループの引越しが実態です。え、五？ オフィシャルには５にいるんだろうね。でもきっと０だよ！
2013-02-16 00:18:17
四一郎
@yon_ichiro
（22）この分析をすれば、どういうあみだくじを作ればよいかがわかります。今の場合、まず二と六を入れ替えるべく、(23)→(34)→(45)→(56)→(45)→(34)→(23)とやります。
2013-02-16 00:21:48
四一郎
@yon_ichiro
（23）そのあと『一が４へ、四が３へ、三が１へ』を実行します。少々めんどくさいですが、これはたとえば『1号室と4号室の入れ替え』をまずやって、それに引き続いて『1号室と3号室の入れ替え』をやるとよい。それぞれの入れ替えは、さっき説明したように、間の部屋を全部巻き込んで断行します。
2013-02-16 00:24:25
四一郎
@yon_ichiro
（24）これで、一二三四五六を、三六四一五二に変換できました。そのほかのパターンも、同じように考えればあみだくじ（隣り合った部屋どうしの引越しの組み合わせ）で実現できることは納得していただけるでしょうか。これで、疑問【1】に対してYESと答えました！
2013-02-16 00:26:52
四一郎
@yon_ichiro
(25)この結果、数学の言葉で言うと「n次対称群は隣接互換で生成される」っていう、けっこう重大な結果なんですよ。対称群ってのは、数学をやる以上一生付き合うべき神器なんですが、それが本質的にはあみだくじだよ、っていうんですから。あみだくじの内包する数学的内容は実に深いのです。
2013-02-16 00:28:58
四一郎
@yon_ichiro
(26)なお、ここまでの【1】の答え方、野崎昭弘先生の名著『数学的センス』にある考え方とまったく同じです......言い訳すると、これ以外に自然な考え方はないでしょう、ってことなんですが、クレジットはしとかないとね。なお、この本にも「か、かわいいよな......」は出てきます！
2013-02-16 00:30:52
四一郎
@yon_ichiro
(27)さあ、でもここからは『数学的センス』にも書いてないことをツイートするぞ。いよいよ @ikkn さんのもともとの疑問【2】を考えましょう。これはたとえ話で言うと「さんざん隣同士の引越しを繰り返したのに、結局、みんなもとの部屋にいる、ってストーリーはあるか？」ってことですね。
2013-02-16 00:33:15
四一郎
@yon_ichiro
(28)直感的には、というか、あのマンガ（どのマンガ？）の世界観からすると、いかにもそういうことありそうですね。大騒動の末、あれっはじめと何にも変わっていない、と気づく。ありそうですが、では具体的に、どんなストーリーだとそうなるのでしょう。
2013-02-16 00:34:41
四一郎
@yon_ichiro
(29)まず、[A]同一の「隣部屋同士の引越し」を2回繰り返すと、元に戻ってしまう。これは当たり前ですよねえ。(45)→(45)は、何の変化もないことと同じだってことですが、これを「(45)→(45)＝id」と書きましょう。idは"identicaｌだ"くらいの感じでご理解を。
2013-02-16 00:37:32
四一郎
@yon_ichiro
(30)そしてもう一種類、元の木阿弥になる引越しの組み合わせがあります：たとえば(12)→(23)→(12)→(23)→(12)→(23)。いやあ、これは気づきにくいですよねー。勝手なお願いですが、できればぜひ、ご自分で確認していただきたいです。はじめてだとちょっと感動しますよ。
2013-02-16 00:40:04
四一郎
@yon_ichiro
(31)もっともこれを当たり前だと思う方法もあります：(12)→(23)→(12)も、(23)→(12)→(23)も、（１９）までの考え方でとどちらも「1号室と3号室の入れ替え」だと見て取れます。だからこの2つをつなげると、結局同じ入れ替えを2回繰り返したことになるから、idだ。
2013-02-16 00:44:49
四一郎
@yon_ichiro
(32)ともあれ、[B]どの部屋についても、左との置換と右との置換を交互に3回繰り返すと、それはidと等しい。ですから、(12)→(23)→(12)→(23)→(12)→(23)のような横線のセットをたくさん書いても、実はあみだくじとしては何もやっていないのと同じです。
2013-02-16 00:50:23
四一郎
@yon_ichiro
(33)これは次のようにもいえます：[B']どの部屋についても、隣部屋との置換を左右左とやるのと右左右とやるのは同じこと。たとえば、あるあみだくじにパーツとして(34)→(45)→(34)があるならば、その部分を(45)→(34)→(45)に取り替えても、結果は同じです。
2013-02-16 00:52:37
四一郎
@yon_ichiro
(34)というわけで、@ikkn さんが昔ほしかった「複雑に見えても実は何もしていないあみだくじ」は、次のようにすれば得られます。記述を簡単にするために、aとbが隣り合う縦線のとき、(ab)→(ab)という2本の横線の組をAタイプといい、a,b,cが隣り合う縦線のとき、(続く)
2013-02-16 00:56:08