あみだくじと群論（あるいは一刻館に関する考察）

四一郎 @yon_ichiro

（0）みなさんこんばんは。今夜はすごく久しぶりに、数学のツイートをしようと思います。お題は @ikkn さんからいただいていた「あみだくじ」の話。2ヶ月ほども前にいただいていたのに、遅くなってしまってすみませんでした。

四一郎 @yon_ichiro

（1） @ikkn さんは昔、「複雑に横線がたくさん入っているのに、結果的には横線が入っていないのと同じという」あみだくじを作りたかったのだそうです。理屈では可能そうだけど、そのときは作れなかったそうです。このお話も後でいたしますが、はい、可能です。それではそもそもの話から。

四一郎 @yon_ichiro

（2）「あみだくじ」とは、何本か縦線を引いたあと、隣り合った縦線同士をつなぐ横線をてきとーにひいて、《縦線を登っていって、横線に出会ったら必ず曲がる》というルールで一番下から一番上までいく、そういうくじですね。上から下へ行くのが好きな人もいるでしょうが、ここでは下から上で。

四一郎 @yon_ichiro

（3）伝統的なあみだくじでは、横線は隣り合った縦線の間にしかひかないですよね。ワープ横線とかひくこともあるとは思いますが、ここでは正調あみだくじだけ。実は、正調に限っても、ワープ横線と同じ効果になるように、横線たちをうまくひくことができます。その話は後でしますね。

四一郎 @yon_ichiro

（4）さて、ここでは二つの問題に答えてみます。【1】正調あみだくじは、ありとあらゆる結果を作り出せるか？　言い換えると、あみだくじによる抽選結果で、どんなにうまく作為的に横線を引いても決して生じないようなものはないと言い切れるか？　...答えはYESです。

四一郎 @yon_ichiro

（5）もうひとつ、@ikkn さんのもともとの疑問、【2】たくさん横線がひいてあるのに、結局「ぜんぜん横線がひいてないくじ」、全員が最初に選んだ縦線のままの結果にたどり着くようなくじは作れるか？　......これは部分的YES.つまり、それは作れますが、作り方は限定されています。

四一郎 @yon_ichiro

（6）まず、たとえ話の設定をさせてください：あみだくじのビジュアルな様子をツイッターでは伝えにくいので、文章化しやすい状況にします。まず、一本一本の縦線を、アパートか何かの各部屋だと思ってください。たとえばですね、木造のぼろいアパートで６号室まであって、管理人さんがかわいい、と。

四一郎 @yon_ichiro

（7）で、それぞれの部屋には住人がいます。そして、あみだくじを下から上へ、時系列に従って見て行って、2本の縦線の間に引かれた横線に出会ったら、そこでその2部屋の住人が互いの部屋へ引越しする、と。あみだくじを下から上まで見切ると、隣室同士の引越しがたくさん行われることになります。

四一郎 @yon_ichiro

（8）住人にも名前がないと話に不便ですから、仮に、1号室から6号室まで、はじめは、一の瀬さん、二階堂さん、三鷹さん、四谷さん、五代さん、六本木さんが住んでいるとしましょう。え、名前が不自然？　な、なにを言っているんですか、あなた昭和生まれの心の傷を衝くつもりですか、ゆるして。

四一郎 @yon_ichiro

（8番外）か、かわいいよな......

四一郎 @yon_ichiro

（8番外の番外）どちらかというと、ハンドルネーム的にも実際的にも、惣一郎さんに似ているような気がしますわたくし......

四一郎 @yon_ichiro

（9）たとえばですね、縦線が６本のあみだくじで、一番下に書かれた横線が４号線と５号線の間のものだったとします。これはつまり、4号室と5号室の初期住人、四谷さんと五代さんが互いに相手の部屋へ引っ越すことに対応します。え、その間の壁穴開いてるから？　だから、そんな設定知らないって。

四一郎 @yon_ichiro

（10）もう少し、たとえば。まず4号線と5号線の間に横線があり、その直後に5号線と6号線の間に横線があるとします。これは引越しで言うと、まず四谷さんと五代さんが入れ替わり、その次（ここが大切）そのとき5号室と6号室に住んでいる人、つまり、四谷さんと六本木さんが入れ替わります。

四一郎 @yon_ichiro

（11）つまり、まず4号線と5号線の間に、つぎに5号線と6号線の間に、横線があるというあみだくじにより、はじめ4,5,6号室に住んでいたのは四谷さん五代さん六本木さんだったのが、終わりには五代さん六本木さん四谷さん、になっているわけですね。って、あああさすがに記述が面倒だこれ。

Nowtucker_O'Stone @tree_frog_o

@yon_ichiro 住人に背番号つけたことにして、番号で呼べば…？

四一郎 @yon_ichiro

@tree_frog_o 実はそれを狙ってこのようにくどくどと書いておりました......というか、ずっとあみだくじの話をどうやって綴ろうか悩んでいて、今朝「そうだ！一刻館でやればいいんだ！」と思いついたのです。けれんですよね、すみません......。

Nowtucker_O'Stone @tree_frog_o

@yon_ichiro けれん大切よー。

四一郎 @yon_ichiro

@tree_frog_o ありがとうございます。やや真面目に言うと、数学について何かしら読んだり考えたりしていただけるのならば、けれんでも邪道でも、もうなんでもやるつもりです。

四一郎 @yon_ichiro

（12）略記しましょう。「4号線と5号線の間に横線がある」を簡単に「（45）」と書きます。「（45）のすぐ上に（56）がある」ことを「（45）→（56）」と書きましょう。それで、1号室から6号室まで一の瀬さんから六本木さんが住んでいる状態を、もう「一二三四五六」と書いていいよね。

四一郎 @yon_ichiro

（13）それで、（11）で述べたことを書き直すとこうなります：（45）→（56）で、はじめ一二三四五六だったのが一二三五六四になります。わあ短いうれしい！　って、これが数学での記号化の大切な効能なんですが、その前にめんどくさい思いをしていると、ありがたみがひとしおですよね。

四一郎 @yon_ichiro

（しまった、ある程度予想していたこととはいえ、数学より一刻館の話題で盛り上がるTL......あ、いや、いや、知りませんよそんなアパート。PIYO PIYOって、だからしらないってば。）

四一郎 @yon_ichiro

（私は数学の記述でいっぱいいっぱいでリプライもできませんですが、TL上のみなさんは、どうぞ一刻館的にガンガン盛り上がってください！　楽しいですし、私の本意です。あと、三鷹さんは本当は住んでないんだけど、それもスルーで行きましょう。私は一の瀬さんや四谷さんみたいになりたかった。）

四一郎 @yon_ichiro

（あ、三鷹さんは私はあまり好きじゃなかったんですけど、その一番の理由が、九条さんを持って行っちゃったからじゃないかしら......）

浮島、あなた疲れてるのよ @amubaruwaria

@yon_ichiro 九条さんかわいかった確かに！

四一郎 @yon_ichiro

@amubaruwaria 私は昔からサイドのわりとどうでもいいキャラに感情移入するタチで、九条さんはすごく好きでした。八神さんもけっこういいかな、と。音無さんはめんどくさそうだなあってマンガを見る分には思いますけど、実在したらやっぱり「か、かわいいよな......」でしょうね。