前野昌弘『よくわかる初等力学』勉強会（第4章～第7章）
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ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】あるいは、(7.57)を通分しておき、分母分子を展開して見比べると、m1m3の符号だけが異なり、1－2[m1m3／(m1＋m2)(m2＋m3)]と変形できる。[...]内をλとすると、|1－2λ|≦1を示すには0＜λ＜1が言えればよい。
2013-04-04 09:57:35
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】λ＝[m1／(m1＋m2)][m3／(m2＋m3)]より、[...]内はいずれも0＜[...]＜1であるので、確かに0＜λ＜1が成り立つ。
2013-04-04 09:59:12
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】「1を超えないことを示せ」とあるが、どれかの質量がゼロでない限り、ちょうど±1になることはないのだな。m1＝0またはm3＝0のとき1に、m2＝0のとき－1になる。
2013-04-04 12:05:19
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】m3＝0というのはバネもm3も付いていないのと同じだから、ただのm1とm2の弾性衝突だ。m1＝0は、m1が完全に跳ね返されて、複合体のほうは壁のようにびくともしないという事態。それぞれの場合の衝突後の速度をきちんと計算して納得すると吉。m2＝0の検討は(2)の後で。
2013-04-04 12:07:06
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】とは言え(2)はヒントに書かれている通りで、付け加えること無かったな（汗）これが起こるためには、さっきのλが大きいほうがいいから（λ＞1／2ならOK）、m2がm1やm3に比べて小さいほど起こりやすそうだな。それでm2＝0が究極というわけか。
2013-04-04 12:26:49
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】m2がm1に比べて小さいと、m1があまり減速しない。m2がm3に比べて小さいと、m2の重心速度vGへの影響力が小さくて、vGがあまり大きくならない。いずれにしても衝突後のm1が複合体に再び追いつく可能性が高くなる。
2013-04-04 12:33:43
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】p229章末演習7-5、問題ではrなのが解答にはhになっている（指摘）。この問題はp172の問い5-5とぜひ対応づけて理解したい。解答に修正が入っているので注意を要するが、上端に達するためには下端での速さが√(5gl)以上でなければならない。
2013-04-04 19:27:20
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】これは下端での運動エネルギーが(5／2)mgl以上でなければならないことを意味する。これは演習7-5の解答で(5／2)h以上の高さから手を離せばよいことときちんと合致する。
2013-04-04 19:28:25
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】一般論として、各種保存則は運動方程式から導くことのできる定理であって、別個に存在しているわけではない。毎度まいど微分方程式を解く手間を、共通化できる部分は済ませておいて、初めと終わりだけ考えればいいようにしてくれた優れものだ。
2013-04-04 19:46:19
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】だから理想を言えば、「保存則で解ける問題も、運動方程式から解こうと思えば解ける」ということを何度か体感できるのが良いと思う。しかし現実には技術的な事情で保存則を使わないと面倒過ぎることになってしまうことも多そうだ。
2013-04-04 19:46:57
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】この演習7-5に関しては、下端に達する前後で分けて考えれば、運動方程式でも保存則でも充分解くことができるので、両者の結果が合致することを確認する絶好のチャンスだ。じっくり見比べたいところ。
2013-04-04 19:47:30
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】「仕事の原理」の厳密なステートメントはいったいどういうものなのだろう？装置に働く力や力のモーメントが釣り合っていない場合にも拡張されるのかどうか分からないが、少なくともテキストの例は梃子やピストンを含めて全て「釣り合っている」という条件下の話。
2013-04-05 10:01:04
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】だから、「仕事の原理」のほうを出発点に据えれば釣り合いの法則を導ける(脚注27）、というのはいかにもありそうな話。しかし、作用・反作用の法則が導けるとは書いてない。
2013-04-05 10:01:44
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】ぎゃー、ピストンの装置の、あの流体にかかる力は左右の面だけじゃないんだな。釣り合ってるのかもしれん。わっからーん！
2013-04-05 11:01:06
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】ある法則を知ったら、「じゃあ、この場合はどうなるのだろう？」と自分でいろいろ例を調べたくなる。法則に反すると思って法則のステートメントを読み返すと、仮定・適用範囲や細かい表現が効いてくることに初めて気づき、「あぁ、それでこう書いてるのか」と合点がいく。
2013-04-05 11:29:12
前野［いろもの物理学者］昌弘
@irobutsu
ピストンに働く外力はもちろんつりあいます。それから仕事の原理にもいけるし、逆に仕事の原理からパスカルの原理が出せる。RT @y_bonten :【初等力学】ぎゃー、ピストンの装置の、あの流体にかかる力は左右の面だけじゃないんだな。釣り合ってるのかもしれん。わっからーん！
2013-04-05 13:07:26
前野［いろもの物理学者］昌弘
@irobutsu
すいません、確かに仕事の原理は「道具を使っても仕事を増やすことはできない」という明文化しかないですね。「道具」の定義が不明瞭ですが「剛体または剛体の組み合わせでできている」「接合部分がすべらない」あたりが必要条件になると思います。@y_bonten
2013-04-05 13:13:39
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@irobutsu ありがとうございます。ではやはりこれらの例はすべて、装置に掛かる力が釣り合っているわけですね。そのあとの証明でも力と力のモーメントが釣り合っていることが仮定されています。（続く）
2013-04-05 13:21:43
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@irobutsu テキスト中で最も「仕事の原理」のステートメントらしい箇所はp222の「剛体でできた器具がどのように運動しようと、その剛体に働く力と力のモーメントがつりあっている限り、剛体は全体として外部に仕事ができない」かと思います。（続く）
2013-04-05 13:21:56
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@irobutsu これと、いまご教示いただいた「剛体または剛体の組み合わせでできている」「接合部分がすべらない」という条件を並べたとき、「装置に掛かる力と力のモーメントが釣り合っている」という条件が、仕事の原理にとってどれくらい本質的であるのかがつかめずにいます。
2013-04-05 13:22:16
前野［いろもの物理学者］昌弘
@irobutsu
@y_bonten 「釣り合っている」というのは「道具」を「理想的道具」にするために質量を０にしたところから決まった条件です。これを入れないと、道具自体がエネルギーを持ってそれが増減するので原理は成立しなくなります。つまり「道具は理想的道具である」という条件があって成立する。
2013-04-05 13:32:59
前野［いろもの物理学者］昌弘
@irobutsu
@y_bonten そういう意味では、ピストンや流体の話は微妙に他の機械的な「道具」とは違ってますね。流体の場合、「体積が変わらないこととパスカルの原理」（これはつりあいと同値）が仕事の原理を導いてくれることになります。
2013-04-05 13:38:08
前野［いろもの物理学者］昌弘
@irobutsu
あまりに「よくわかる初等力学」のミスが多いので、２版が出たら該当部分をスキャンしてシールを作り、希望者に無料発送しなきゃいかんなぁと考えている今日このごろ。
2013-04-05 13:56:02
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@irobutsu ありがとうございます。仕事の原理における、釣り合いの条件の位置づけが非常にクリアになってきました。
2013-04-05 15:39:15