前野昌弘『よくわかる初等力学』勉強会（第4章～第7章）

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】(1)理想的道具であっても、外力の作用点と、その反作用の作用点の動きが異なっていれば、「道具が得る仕事はゼロなのに、外界がゼロでない仕事を得る」という事態があり得る。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】(2)理想的道具でなくとも、外力の作用点と、その反作用の作用点の動きが同じであれば、道具が負の仕事を得たときに、外界はその大きさを上回る正の仕事を得ることはできない。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】(1)も(2)も間違っていないとすれば、仕事の原理を有意義に拡張しているのは(2)であるように思う。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】p229演習7-3、物理と直接関係ないんだけど、こういう問題、みんなどうやって解いてんだろうと思う。適当に式をいじくっていると、たまたま答えにたどり着く人と、こんぐらかって何が何だか分からなくなって挫折する人が出るんじゃないだろうか。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】こんぐらかっちゃった人が解答を見て納得しても、また自分でやってみろと言われると、やっぱり最後までたどり着かなかったりする。ここではそういう人向けに「見通し」を改善してみたい。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】とりあえずεとか考えずに、「系の運動エネルギーの合計の変化（噴射後－噴射前）ΔWを書き表せ」と言われたらどういう式になるだろうか。ΔW＝[(1／2)(m＋dm)(v＋dv)^2＋(1／2)(－dm)(v－w)^2]－(1／2)mv^2となる。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】これを計算しても、運よく文字が消えたり式が簡単になったりする保証はない。ただ、運動量保存の式により、一つだけ確実に文字を消去することができる。運動量保存の式は、単に「いくつもの文字の間に成り立つ関係式」と見てもよいが、

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】「質量m、速度vのロケットが噴射速度wでdmだけ燃料を切り出したときに、残ったロケット本体がどれだけ加速するか」、つまりdvを他の量から求める式と考えると分かりやすい。実際に整理してdvについて解くとdv＝w・(－dm／m)となる。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】これをΔWの式に代入して、あとは二次の微小量を無視して愚直に計算すればよい。すると、幸いなことに項がサクサク消えて、ΔW＝(w^2／2)・(－dm)となる（dm＜0に注意）。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】そこで、wの噴射速度を出したければ、燃料の単位体積（-dm）あたりw^2／2のエネルギーを発生させないといけないことが分かり、この値をεと書いた、というわけ。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@y_bonten この問題の趣旨はどっちかつーと「灯油一リットル燃やすと何ジュールのエネルギーが出る。ってことは灯油で進むロケットの噴射速度どれくらい？」という方の問題意識からなんです（それがわかりにくいかもしんないけど）。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@y_bonten V= w log(m_0/m)って式は有名なんだけど、けっこうこれみて「どんどんw速くすればいいんだな」と早合点する人いるんですよ。ところが、燃料の質（含まれるエネルギー）で上限が決まっている。とまぁそういうところをわかってもらうための問題。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@irobutsu なるほど、最初にwと置いた時点で、こっちがgivenなものだと錯覚してしまいそうですね。ΔWの計算自体が、「wの噴射速度を得るために、どれだけのエネルギー増加を必要とするか求めよ」という感じなのですね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】演習7-5に関連して、さっきp172に修正が入ったので見返していた。この5.26の一番上の式、l（エル）を掛けたらエネルギー保存になって、2を掛けたら中心方向の運動方程式になるのだなぁ。楽しい～

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

ところで、力学の本でちゃんと仕事の原理を証明したりしてる本って少ない（だからこそくどく書いた）んですが、他にあの辺りをきちっと書いてある本って知ってます？？ @y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@irobutsu すみません、存じ上げません。一段落ついたら逆に先生にお聞きしようと思っていたんです（汗）

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

でしたか。解析力学の本で仮想仕事の原理に関係する辺りで書いてある本はあるんですよ。力学の方ではあるはずだと思うんだけど見つけられなかった。私のも推敲が足りなくてご迷惑かけてますm(_ _)m。 @y_bonten

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@irobutsu いえいえ、情報ありがとうございます。早く解析力学に取り組みたいです。ﾁﾗｯﾁﾗｯ

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@y_bonten 仕事の原理のところは、査読してもらった同僚からも「質量０で考えるところがわかりにくい』という意見をもらって、だいぶ直したつもりだったんですが、今見直すとけっこう筋が悪いところがあって、ああああ、となってます。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@irobutsu あれを解説するのは意外にも未踏領域だったのですね。「道具で仕事は増やせない」話のはずなのに、「道具の得る仕事がゼロ、したがって外への仕事もゼロ」という推論に疑いがあまり差し挟まれていない点が気に掛かりました。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@y_bonten そっちの問題は、「変形なければΔｘが同じになるから」という話の説明でやり終えたつもりだったんですが、「すべりがあるとだめ」の部分の説明はちょっと手薄でした。反省点。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】演習7-1を最後にやった。なんちゅうか、「ほぇーっ」と感心するばかり。UFOキャッチャーで品物を引っ掛けて取るときにも●●●●●●●って言葉が頭をよぎりそうだ。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】（指摘）p215脚注20「仕事同じ」、サポートページp393問い7-1(2)の解答「また、図に描き込まれたf'は不要に……」；これはその後の問い7-2に関するもの、演習解答ファイル7-1ヒント「ひもの持っているエネルギーは」；v^2抜け、7-1解答の最初の積分にdL。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】演習6-3を見返して感じたが、こういう問題って、勇猛果敢に学んだ法則を適用する人と、全くどうしたらいいか分からず、解答を見て「え？そんなことやっていいの？」と感じる人に分かれるんじゃないだろうか。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【初等力学】力積と運動量変化の関係を運動方程式から導くとき、質量mは一定で、速度が変化するために運動量が変化する（Δ(mv)＝mΔv）と考えて導出したのだった。しかし、この問題では、口からどんどんピザが出てくるみたいに、系にどんどん新しい質量が参入してきて運動量が増加している。