前野昌弘『よくわかる初等力学』勉強会（第8章～）
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ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】歯ごたえのある第7章がようやく終了、いよいよ角運動量が登場する第8章に入る。（位置ベクトル）×（力）が「力のモーメント」なら、（位置ベクトル）×（運動量）は「運動量のモーメント」、moment of momentumだ（ややこしい）。
2013-04-06 17:55:30
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】まぁこの概念を初めて学んだときもずいぶんいろんなところにつまづいたものだが・・・まず第一に、角運動量と言えば「回転」だと、頭の中で強固に対応させ過ぎていたのが良くなかった。もちろん回転と密接に関連する量ではあるが、あくまで運動量に「（位置ベクトル）×」をつけたもの。
2013-04-06 17:59:16
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】だから回転していようが無かろうが、角運動量はそんなことはお構いなく、ちゃんと定義される。等速直線運動しているときに角運動量が保存されることを確かめたことがあるかい？・・・と言おうとしたらちゃんとテキストに書いてある。
2013-04-06 18:01:21
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】第二に、角運動量は位置ベクトルを使って定義されるので、位置ベクトルの原点をどこにとるのかによって全く違った値になるということをよく忘れた。これも一度言われれば「ふむふむそりゃそうだ」と感じるのだが、何度も何度も忘れるんです。
2013-04-06 18:06:01
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】第三、位置ベクトルの原点はどこでもいいのだが、一度「ここ」と定めたら、議論の途中で勝手に原点を変えてはいけないこと。これも何度も私が間違えた痕跡がネット上にも残っている。
2013-04-06 18:07:56
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】角運動量は「回転」云々よりも、ある点から見た「面積速度」をイメージしたほうが定義に即している。面積速度って、あのケプラーの第2法則の面積速度そのもの（の2m倍）だが、高校の先生はよく「掃く面積」と表現していた。スウィープ、スウィープ。
2013-04-06 18:11:50
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】「もらった力積の分だけ、運動量が変化する」「もらった仕事の分だけ、エネルギーが変化する」と同様、「もらった（力のモーメント）×dtの分だけ、角運動量が変化する」という(8.6)には名前が付いていないが重要。たまたまそれがゼロの場合が角運動量保存則。
2013-04-06 19:41:03
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
力積モーメントかな RT @y_bonten: 【初等力学】「（力のモーメント）×dt」って、何か名前が付いてたっけ。トルク積？
2013-04-06 20:34:52
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
そか、力積がimpulseなの忘れてました(^^; RT @tokyomarlin: じゃあ、angular impulse RT @y_bonten: お二方ありがとうございます。両方あるようですね。角力積「すもうせき」って読んでしまいそう。
2013-04-07 07:34:45
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】8.1.3節を読んで、別に何も間違ったことは書かれていないようなのに、どうも腑に落ちない感じを覚えて何度も読み返していた。その原因はどうやら、「なぜ[L]／mr^2は角速度ベクトルと呼んでよいのか」という一般的な説明がないことのようだ。
2013-04-11 03:26:08
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】運動方程式とも角運動量の定義とも無関係に、【動く点の幾何学として】、位置[r]にある速度[v]の点の角速度は[r]×[v]／(r^2)で表されることが示せる。
2013-04-11 03:36:01
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】[r]×[v]／r^2の成分計算はどんな座標で行なっても自由だが、やはりrが登場するくらいだから極座標との相性が良く、その結果がθ'[e_φ]－(sinθ)φ'[e_θ]。そして、この結果を直感的に納得するための説明がp235あたりにある。ここも数学の問題。
2013-04-11 03:39:07
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】[ω]＝[r]×[v]／r^2と、角運動量の定義[L]＝[r]×m[v]から、[L]＝mr^2[ω]と書ける。この等式には質量や角運動量の概念が登場するが、数学の等式と角運動量の定義だけから導かれるものであって、運動方程式は無関係。
2013-04-11 03:45:08
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】p235の右上の図。「φだけが変化するときの角速度ベクトルは常にz軸」だと勘違いしそうになった（同じ状態の人います？）この辺りで「質点の角速度ベクトルとは何か」を熟考しないとハマる。「質点の角速度ベクトル」は、直感的な意味での「回転軸」とはかなりかけ離れている！
2013-04-11 10:41:26
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】質点と位置ベクトルの原点（勝手に選べる）を結ぶ線分を考えて、質点が移動したとき、線分によって掃かれる図形を考える。移動が微小ならほぼ平面の三角形だ。質点の角速度ベクトルは（質点の角運動量ベクトルもそうだが）、この平面の法線ベクトルである。
2013-04-11 10:46:46
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】この例のように緯線に沿ったような運動を見れば、誰が見たって「回転軸はz軸」と答えるだろう。しかし角速度ベクトルはz軸ではなく、この法線ベクトルであり、これ自体が刻一刻と変化していくのである。
2013-04-11 10:48:46
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】角速度ベクトルを、「ある瞬間における回転軸」と見ることもできるが、その軸の周りを回ろうとした次の瞬間には、軸そのものが別の方向を向いてしまう。この例に関する限り、各瞬間の質点の位置を通り角速度ベクトルに平行な直線を引けば、すべての直線はz軸上の一点で交わっている。
2013-04-11 10:50:51
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】p236の右上の図も、たくさん並んだ矢印の先はすべてxy平面に平行な平面上に乗っている（p235と同様）だが、そこに描き込まれた「斜めの円」上にあるわけではないことに注意。この円は、ある特定の瞬間の角速度ベクトルに垂直な平面に過ぎない。
2013-04-11 10:53:41
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】今回の例では角速度ベクトルが[e_θ]の逆方向を常に向いているが、φの変化によって[e_θ]自体の方向が変化する。これがp236脚注8に書かれているが、これ、意外に重要である。3次元極座標を理解するときに悟っておく必要がある。
2013-04-11 10:58:01
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】すなわち、r,φが一定でθのみが変化するときは、[e_φ]は変化しない。ところが、r,θが一定でφのみが変化するときは、[e_θ]は変化する！
2013-04-11 10:58:12
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【初等力学】p363のB.4外積と微小回転、ここは必須。二方向から図を描いてくれてあるので、図の読み取りを間違えることは少ないだろうけれど、念のため・・・このマルは円で、[x]と[e]の根元は円の中心にあり、[e]は円の中心から垂直に生えている。
2013-04-11 13:24:16