全ての素数の積が偶数なのが納得がいかない数学徒たち
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代数的な定式化を試みた人たち
「素数の無限積」やその偶奇を代数的にどう定義し直すかを考えた人がこちら。
原子心母
@atomotheart
【超自然数】素因数分解の一意性から、自然数に各素因数の指数を並べたものを対応させる事で、0を除く自然数全体と自然数の集合の可算個の制限直積の間に全単射が作れる。そこで自然数の可算個の直積集合の元を超自然数と呼ぶ人がいる。素数全ての積は全ての成分が1の超自然数となる。 続く
2014-11-24 06:46:57
原子心母
@atomotheart
続き こうしておいて、超自然数が偶数であることを素数2に対応する成分が1以上と定義しておけば、クイズの答えは確かに正しいけれど、多分出題者はここまで考えてないだろう・・・
2014-11-24 06:48:47ここでいう超自然数(super-)は超準解析に於ける超自然数(hyper-)とは異なる。
すざく（ひよこ）
@suzakus
偶数派の意見としては「任意の素因数を持つ無限大」を数として加えるなりして環を適切に完備化すれば数として定義できる的なのが一番納得できそうではあった
2014-11-24 06:55:57
いい話
@goodstoriez
@suzakus そりゃ∞を数として定義して超準解析みたいな体系にすれば出来ますが、通常∞という数は定義されてないので。故に目標値としてのlimの右辺は存在し得ないですね。 無限に目標値に近い数が得られるという、イプシロンデルタ論法まず満たさないのでダメでしょう。
2014-11-24 07:02:25
すざく（ひよこ）
@suzakus
@nyamkore 無限大が数として存在しないというのは納得できます。ただ発散する場合の無限積は無限大（という数でないある種の概念）と定義すると思っていたのですが、そもそもそういう定義自体できないというほうが正しいんですね
2014-11-24 07:10:10
すざく（ひよこ）
@suzakus
@nyamkore なるほど、この存在を認めた時点で超準解析の立場になってしまうんですね…濃度とかと同様に数学的に定義されてると思ってました。実数論的な立場では存在しないとするのが普通なんですね。調べたらわりとすぐ出てきて無知を晒してしまいました:;(∩´﹏`∩);:
2014-11-24 07:17:59（まとめ作者注）ε-δ論法を使う収束の定式化は一般に実閉体上で（かなり合理性を持った形で）展開できるので、別に議論を超実数体に制限する必要はないです
こもりん💉💉💉💉💉
@komorin95
@piano2683 あれっ！(0以外はそれより絶対値が大きい整数で割り切れないしその中に素数も入ってるだろ)と思ってたんですが……
2014-11-24 08:48:23
ぴあのん
@piano2683
@komorin95 今は素数の無限積という元を許すような体系で考えているのでZではないからね。 すると「任意の素数で割り切れるけど0じゃない“整数”」とかをもつようなモデルが構成できる（はず）。 [どこまで「整数」の性質を要求するかで変わってくるとは思うけど]
2014-11-24 08:53:28
ぴあのん
@piano2683
今問題なのは、「素数の無限積」をどう定義するかという問題と、 「その元をもつような環にどこまで有理整数環の性質を課すか」という問題なんだと思います。
2014-11-24 08:55:36