全ての素数の積が偶数なのが納得がいかない数学徒たち

書ききれなかったまとめ作者の意見等を補足しておくと、

• 「素数の無限積」を持つ環は“無限大”を含まなければならない
• さらに部分積をとる数列が何らかの位相で無限大の元に収束してほしい

ここまでで「素数の無限積」に対する定式化は2種類考えられます。

• 一つは非アルキメデス的順序環を用いて実際に順序の意味で“無限大”を実現する方法。この際は「素数の無限積」は「任意の素数で割り切れる0でない元」と解釈する。
• もう一つは順序環とは限らないが、「何らかの位相を入れて部分積をとる数列が収束先を持つ」ような環を考える方法。この場合ももちろんその収束先は任意の素数で割り切れる必要がある。

ここでこの二つが両立しない、すなわち普通の順序位相の意味では部分積の数列は収束しないことは非アルキメデス的順序環の一般論からすぐわかります。前者のアプローチについては、後の「超準解析」の項で意見を書きます。ちなみにまとめ作者は位相体について無知なので、後者の場合の位相的な議論はこれ以上しません。

代数的な部分に関してはもう少しだけコメント。整数（とその偶奇性）に関する議論は、有理数体Qの拡大体Kにおける有理整数環Zの整閉包（整数環）に関する議論に一般化できます。以上から、Qの適当な拡大体Kの整数環Aをとって、その中で素数の無限積やら偶奇やらについて議論できるのが理想なんじゃないかなぁと思います。あとは数論勢にバトンタッチしたい。

2014/11/25 02:10追加　数論勢のお出ましです

2014/11/26 0:05追加 さらに新たな事実が

超準解析の人々の意見

大元のツイートに対するリプライの中に、「超準解析」を用いたトンデモな人がいました（そのツイートはこのまとめには載せません）。「超準解析」とは「無限に大きい/小さい数」というのを数学的に厳密に取り扱える理論です。普通の実数全体よりもはるかに大きな「超実数体」という無限大・無限小を含む構造を用いて、数学を展開します。

はみだし原理 (prolongation theorem) 超自然数の内的集合 A について次は同値：

• 自然数 l が存在して、任意の自然数 n≧l に対して n∈A
• 無限大超自然数 u が存在して、任意の無限大超自然数 n≦u に対して n∈A
  直観的にいえば(有限)自然数の上の方を全て含んでしまっていると、そこから無限大超自然数の下の方まではみ出てしまう。また無限大超自然数の下の方を全て含んでしまっていると、そこから(有限)自然数の上の方まではみ出てしまう。

例えば m を全ての(有限)素数で割り切れる超自然数とする。超自然数 i に対して p_i を i 番目の"超"素数とする。このとき A = {i | p_i は m を割り切る} は内的集合となる。ところで m は任意の(有限)素数で割り切れるので N⊂A が成り立つ。したがって上のはみ出し原理より、無限大超自然数 u が存在して、任意の無限大超自然数 n≦u に対して n∈A が成り立つ。つまり m は p_u, p_(u-1), … でも割り切れてしまう。したがって全ての(有限)素数を、かつそれだけを素因数に持つような超自然数は存在しない。