「唐突に #p進コンテスト を開催しました」まとめ
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tsujimotter
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tsujimotter 日曜数学者
@tsujimotter
#p進コンテスト {2, 5, 8}だけを並べて10進法で自然数を作ります。この数の中で「2進的」にもっとも 0 に近い数を作った人が優勝です。つまり n を 2が割り切る回数を ord_2(n) としたときに、ord_2(n) が最も大きな n を探しましょう。
2017-02-14 19:22:19以下、私が挙げた例に誤りがあったので、指摘していただきました（間違いのツイートは削除済）
tsujimotter 日曜数学者
@tsujimotter
例: ord_2(2) = 1, ord_2(5) = 0, ord_2(8) = 3, ord_2(2528) = 5 （例に誤りがあったので訂正しました） #p進コンテスト
2017-02-14 19:34:58Periaさんによる計算機的アプローチ
Peria
@peria
#p進コンテスト 1:2 2:28 3:8 4:528 5:288 6:52288 7:28288 8:5888 9:588288 10:8588288 11:22528 12:522252288 13:8855552 14:88588288 15:2558885888 twitter.com/tsujimotter/st…
2017-02-14 19:46:21
Peria
@peria
#p進コンテスト 16:222552588288 17:28552855552 18:285285285888 19:8258558885888 20:28582255525888 21:8285258252288 22:222828888588288 twitter.com/peria/status/8…
2017-02-14 19:47:01
Peria
@peria
#p進コンテスト 23:252255852822528 24:2885228888588288 25:5855582552588288 26:558558282252288 27:8855285858828288 まで、各ord_2(n)の中でnが最小のものたち。 twitter.com/peria/status/8…
2017-02-14 19:48:30
Peria
@peria
twitter.com/peria/status/8… twitter.com/peria/status/8… twitter.com/peria/status/8… 原理的には 2^n * (2k+1) で n を ord_2() の値として k を 10^9 まで試した結果です。
2017-02-14 19:52:19
Peria
@peria
#p進コンテスト タグ付け忘れた…のと、k<10^9 の範囲ではord_2(n)≧28は見つかりませんでした。計算機(64bit)の限界。 twitter.com/peria/status/8…
2017-02-14 19:56:25
tsujimotter 日曜数学者
@tsujimotter
計算器の限界まで調べていただいたっぽい！微妙に法則がなさそうな感じが面白い。理論的なアプローチにも期待したい。 #p進コンテスト
2017-02-14 20:03:09理論的にはどうだろうか？
tsujimotter 日曜数学者
@tsujimotter
たとえば、任意の M に対して、先のルールで作られる ord_2(n) > M となるような n は存在するだろうか？ #p進コンテスト
2017-02-14 20:06:21
nishimura
@icqk3
@tsujimotter detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_de… を連想しました
2017-02-14 19:29:38
nishimura
@icqk3
@tsujimotter 紹介先と同様の議論により 2と5で作られるn桁の整数に限れば2^nで割り切れるものが一つだけ存在する ということです
2017-02-14 20:23:25
tsujimotter 日曜数学者
@tsujimotter
@icqk3 おおー！まだよくわかってないのですが、桁数を増やせばいくらでも ord を大きくできるということでしょうか？
2017-02-14 20:29:31
tsujimotter 日曜数学者
@tsujimotter
@icqk3 ありがとうございます！証明だいぶわかってきました。k桁に付け加える数が奇数と偶数であれば、両者の差が2^kの奇数倍になって、同様の議論によりいずれかが2^{k+1}の倍数になるのですね。 ということは、理論的にはこのコンテストで無限に大きなordの数が作れるのですね
2017-02-14 20:37:56
tsujimotter 日曜数学者
@tsujimotter
先ほど RT した内容の通り、{2,5,8} を並べてつくられる10進法の数 n における ord_2(n) （n が 2 を割り切る回数）は、いくらでも大きくできることがわかりました！つまり、優勝は存在しません！笑 #p進コンテスト
2017-02-14 20:42:45
ねしゃ～
@yuui_nesya
ord_2(n)=k,ord_2(m)=kのときord_2(n+m) ≧k+1 ord_2(n)=k,ord_2(m)=lのときord_2(n*m) =k+l ord_2(10^N)=N この3つが成り立つから #p進コンテスト
2017-02-14 20:47:45