どっぱんさんの確率問題――振り直しと期待値

どっぱん @dppnpn

【問題】12面ダイスを振って出来るだけ高い目を出したいとする。ダイスを1回振った後、その目が気に入らないならば振り直すことができ、それを繰り返して累計3回までダイスを振れる時、得られる目の期待値はいくつでしょう？

不破（仮） @fwtmp

@dppnpn 出目がどれくらいなら止める、って定義がないと算出できないのでは・・・？

どっぱん @dppnpn

@fwtmp 出目の期待値が最高になるような止め方をしてください^_^

どっぱん @dppnpn

【解説】 出目の期待値を考える時、「aの目が出たらダイスを振り直す」という判断は「"a"の代わりに"振り直すダイスの期待値"が書かれたダイスを振る」ことと同じであることを利用する。

どっぱん @dppnpn

なので、1回の振り直しで高い出目を狙うとき、12面ダイスの期待値は(1+2+...+12)/12=6.5なので、「6以下の目が出たら振り直す」という判断が最も出目の期待値を大きくし、その場合「1〜6の面の目が全て6.5になった12面ダイス」の出目の期待値を考えることに等しい。 その期待値を計算すると8になる。

どっぱん @dppnpn

振り直しが2回行える場合、先程計算した「振り直しが1回行える時の出目の期待値が8」であることを利用する。 この場合は「出た目が7以下なら振り直す」という判断で、「1〜7の目が8になった12面ダイス」の出目の期待値を得ることができる。 これを計算すると、106/12≒8.83となる。

どっぱん @dppnpn

簡略化のため少しはしょりましたけど、ダイスの目の置き換えの下りはダイスの面の出方が同様に確からしいことから、期待値が出目の合計値に比例することから示しましょう。

どっぱん @dppnpn

まとめると、 ・1回目の出目が7以下なら振り直し ・2回目の出目が6以下なら振り直し という判断をすると期待値は8.83となり、最大となります。 おしまい