(倉庫) 山田へのその他の物理と口頭試問対策

物理たん (大学の物理学の入門用・学術たん。物理学たん) @buturi_tan

@zattanatubuyaki @C4TTUS 問４ (1) 力学で運動方程式を立てる際、 位置の2階微分に比例する項 位置の1階微分に比例する項 位置の0階微分に比例する項 位置に比例しない定数項 は各々何を表すか。 (2) (1)で、3階以上の微分を含む項を考慮しなくてよい場合が多いのはなぜか？ ※ヒント: オストログラトスキーの定理

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (3) (2)を考慮すると、物理において微分方程式を勉強する際、学ぶべき微分方程式のタイプはおのずと限られてくる。どのように限られてくるか？ (4) この(1)〜(3)のような側面から物理や力学を考察する分野・ジャンル名を何というか？

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 講評 (3)について オストログラトスキーの定理より、 現実世界で起こりうる物理現象の運動方程式の階数は2階微分までであって、それ以上の高階微分を含まない。 したがって、物理学徒が微分方程式を学ぶ際にはまず 二階微分までの範囲に絞って解法や性質を学べば良い。 twitter.com/buturi_tan/sta…

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#解析力学_Lagrange形式編 116 整理: 物理的安定性を要請すると 「#ラグランジアン は q̈など2階以上の変数を含まない」と仮定でき， L=L(q,q̇)とおけて #最小作用の原理 δS=δ∫Ldt=0 に代入すると， #オイラー・ラグランジュ方程式 や #ニュートンの運動方程式 は 2階の微分方程式になる.

2022-01-10 15:43:17

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (4)について まぎらわしい言葉で、 ・力学 ・力学系 ・一般力学 ・一般力学系 などの言葉を混同しないように気をつけたい。 大学一年次で学ぶ、微積分を交えた初等的な力学は一般力学と呼ばれる。これを変分原理に基づいて数理的にスマートに書き改めたものを解析力学と呼ぶ。 いっぽう、力学「系」は

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 全くの別物であって、一つまたは複数の微分方程式によって記述される系のダイナミクスを分析し、解の安定性や構造を議論する数理融合分野である。力学系は微分方程式論の発展形・一般化であり、物理学での運動方程式よりもより一般化されたさまざまな微分方程式によって記述される系を扱う。ここで

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 一般力学系、複素力学系、カオスなどの語が現れることになる。位相力学という語も参照されたい。 そういうわけで、力学と力学系を混同しないように。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS #山田へのその他の物理と口頭試問対策 問１１ 非常に大きな速度で宇宙全体が膨張しつづけている場合， その宇宙空間の中を，端から端まで ロケットや光が横切ることは可能なのだろうか。 下記の簡易なモデルを仮定して試算してみよう。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS いくらでも伸びる1mのゴムひもGがある。 Gの一端Oから，芋虫が毎分1cmずつ進む。 毎分1分経つたびに，Gは全体が一様に1m伸びる。 (1) T分後に芋虫がいる位置までのOからの距離[cm]は X_T = ( X_{T－1}＋1 ){ T/(T－1) } であることを示せ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (2) T分後のロープGの全長 [cm] は L_T = 100(1＋T) であることを示せ。 (3) (1)と(2)の差を計算する事により， 芋虫がGの他端(ロープのもう一方の端)に到達する時刻を求めよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 講評 「ゴムロープの上のアリ」で調べよ。 また補題として，調和級数が発散することを示せ。 ※これらはいずれも高校範囲である。 なお，この簡易モデルを発展させて連続モデルにした場合や， 系全体の膨張速度が時間的に一定でない場合はどうなるか？

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 調和級数 - Wikipedia ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF… ＞調和級数が発散することに起因するいくつかの逆理や直観に反する結果が知られている。例えば、「ゴムひもの上の芋虫」(“worm on the rubber band”) と呼ばれる逆理がある。 ゴムロープの上のアリ - Wikipedia ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS #山田へのその他の物理と口頭試問対策 問18 「ひかり」という名前の新幹線を知っているだろうか？ ひかり(列車) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%B2… 東京・大阪・博多間の新幹線の愛称

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@zattanatubuyaki @C4TTUS この新幹線ひかりの主な車両はN700系というタイプで， 先頭車両の長さは２７メートル，中間車両の長さは２５メートルとのこと。 新幹線N700系電車 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B0… さて，ここからが問題である。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (1) 新幹線「ひかり」の先頭車両(全長27メートル)が 速度v ＝ {光速の3/4の速さ} ＝ (3/4)c で動くと， 車両の長さは α倍 ＝ 約2/3倍 (※0.661倍) にローレンツ収縮して18メートル弱になる。 ※α ＝ √(1 － v^2 / c^2) ＝ 1/γ

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ということは， この車両が速度vで 25メートルのプールと同じ長さの車庫に突っ込んできた時， 車両は18メートル弱の長さしかないので，車庫の長さに対して７メートルも余裕がある。 だから，一瞬とはいえ車両全体が車庫に収まり，車庫の扉を閉めることが可能なのだろうか？ 定量的に説明せよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ※車庫の中に突っ込んだ新幹線は 急ブレーキをかけ車庫の中でちょうど先端で停止し そこで車両の長さは元通り静止長27メートルに戻るので 停止後は車両の27－25＝2メートルが車庫の後端からはみ出るはず。 しかしここでは停止後の事は考えず，新幹線が速度vで動いている最中の状況のみを問題にする。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (2) (1)の状況を，新幹線に乗った人の観点から考えると 新幹線は動いていないので相対的に速度0であるから，新幹線の全長は27メートルのまま。 そして，車庫が相対速度v(光速の3/4)のスピードで近づいてくるので 車庫の長さは25メートルの約2/3の長さにローレンツ収縮し，16.5メートルほどになる。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS よって27メートルの車両は 16.5メートルの車庫には一瞬たりとも収まりきることは無く 車庫の扉を閉めることはできない。 これは(1)と矛盾する。 同じ状況を考えているにもかかわらず (1)は車庫の扉を閉める事ができるのに (2)は車庫の扉を閉める事ができないのはなぜか 定量的に数式を使い説明せよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 講評 「ガレージのパラドックス」 (棒と納屋のパラドックス)で調べよ。 ローレンツ因子 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD… γ ＝ 1 / √(1 － v^2 / c^2) 長さの収縮 / パラドックス ja.wikipedia.org/wiki/%E9%95%B7… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS #山田へのその他の物理と口頭試問対策 問２５ 「双子のパラドックス」を，数式を使って定量的に説明せよ。 定性的な説明ではダメである。それでは説明したことにも証明したことにもならない。 物理法則を数式でモデリングし，等式ないし不等式を確実に論理的に導出しなければならない。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 具体的には下記の手順で行なえ。 (1) 双子の兄と弟が地球にいて，兄の年齢＝弟の年齢　。 兄がロケットに乗って速い速度で長距離の宇宙飛行をしたのち地球に戻る。 ここで相対論より，物体は速く動くほど時間の流れが遅くなる。 弟は地球で静止したままなので，弟に流れる時間の早さは変わらない。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS いっぽう，兄はロケットに乗って速い速度で動いているので，兄に流れる時間の早さはゆっくりであり， 兄が宇宙飛行を終えて地球に戻ってきた時には 弟に流れた時間　＞　兄に流れた時間 なので，兄よりも弟のほうが年上になっている。 この議論は正しいか？

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (2) 宇宙飛行の間ずっとロケットに乗って静止している兄から見ると， 宇宙飛行の間ロケットは動いておらず，兄の速度は0だから時間の流れ方は変わらない。 いっぽう，ロケットから見て相対的に地球がずっと速いスピードで動き続けることになるから， 宇宙飛行の間は地球で流れる時間が遅くなっていたと

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@zattanatubuyaki @C4TTUS いうことになる。 従って兄に流れる時間より弟に流れる時間のほうがゆっくりなので 兄が宇宙飛行を終えて地球に戻ってきた時 弟に流れた時間　＜　兄に流れた時間 だから弟より兄のほうが年上になっている。 この議論は正しいか？ (3) (1)と(2)の議論で結論が食い違うのはなぜか。 矛盾を解決せよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 問２５の講評 この問題を定量的に扱うために，参考文献を７つ紹介し， それぞれのアプローチや紹介方法がどう異なっているかを要約する。 ロケットが等速直線運動である地点で折り返して往復する場合の 兄と弟の固有時間の差を具体的に計算しているもの：