(倉庫) 山田への化学

大学の化学を独学しようたん(大学化学たん。量子化学･化学結合論･量子力学･物理化学の学術たん) @DaigakuBakegaku

@zattanatubuyaki @C4TTUS －(sinφ cosφ sin^2 θ / r^2 sin^2 θ) ∂_φ －(sinφ cosφ cos^2 θ / r^2 sin^2 θ) ∂_φ －(sinφ cosφ / r^2 sin^2 θ) ∂_φ ＝ ＋ sin^2 θ sin^2 φ (∂_r)^2 ＋ (sin^2 φ cos^2 θ / r^2) (∂_θ)^2 ＋ (cos^2 φ / r^2 sin^2 θ) (∂_φ)^2 ＋ (2 sinθ cosθ sin^2 φ / r) ∂_r ∂_θ

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ＋ (2 sinφ cosφ / r) ∂_r ∂_φ ＋ (2 sinφ cosφ cosθ / r^2 sinθ) ∂_φ ∂_θ ＋ { (sin^2 φ cos^2 θ ＋ cos^2 φ) / r } ∂_r － (2 sinθ cosθ sin^2 φ / r^2) ∂_θ ＋ (cos^2 φ cosθ / r^2 sinθ) ∂_θ － (2 sinφ cosφ / r^2 sin^2 θ) ∂_φ となり(∂/∂y)^2を極座標表示できることを確かめよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 11週の #山田への化学 問76 前問では，ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2 ＋ (∂/∂y)^2 ＋ (∂/∂z)^2 の極座標表示を得るための通過点として (∂ / ∂y) ＝ (sinθ sinφ) (∂ / ∂r) ＋ (sinφ cosθ / r) (∂ / ∂θ) ＋ (cosφ / r sinθ) (∂ / ∂φ)　① の二乗を考える事によって (∂/∂y)^2 の極座標

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 表示を得た。 今回はその続きで， (∂ / ∂z) ＝ (cosθ) (∂ / ∂r) ＋ (－(sinθ) / r) (∂ / ∂θ) ＋ 0 (∂ / ∂φ)　② の二乗を考える事によって (∂/∂z)^2 の極座標表示を得ることとしよう。 (1) 前問の(1)と同様に，積の微分公式を使って

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ∂_r (1/r) ∂_θ ＝ －(1/r^2) ∂_θ ＋ (1/r) ∂_r ∂_θ　③ ∂_θ cosθ ∂_r ＝ －sinθ ∂_r ＋ cosθ ∂_θ ∂_r　④ ∂_θ sinθ ∂_θ ＝ cosθ ∂_θ ＋ sinθ (∂_θ)^2　⑤ を示せ。 (2) ②の二乗が (∂_z)^2 ＝ { cosθ ∂_r － (sinθ / r) ∂_θ }^2

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ＝ { cosθ ∂_r － (sinθ / r) ∂_θ }・{ cosθ ∂_r － (sinθ / r) ∂_θ } ＝ ※1行目 ＋ cosθ ∂_r { cosθ ∂_r － (sinθ / r) ∂_θ } ※2行目 － (sinθ / r) ∂_θ { cosθ ∂_r － (sinθ / r) ∂_θ } ＝ ※1行目 ＋ cosθ ∂_r cosθ ∂_r － cosθ ∂_r (sinθ / r) ∂_θ

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ※2行目 － (sinθ / r) ∂_θ cosθ ∂_r ＋ (sinθ / r) ∂_θ (sinθ / r) ∂_θ ＝ ※1行目 ＋ cos^2 θ (∂_r)^2 － sinθ cosθ { ∂_r (1/r) ∂_θ } ※2行目 － (sinθ / r) { ∂_θ cosθ ∂_r } ＋ (sin θ / r^2) { ∂_θ sinθ ∂_θ } ＝

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ※1行目 ＋ cos^2 θ (∂_r)^2 － sinθ cosθ { －(1/r^2) ∂_θ ＋ (1/r) ∂_r ∂_θ } ※③より ※2行目 － (sinθ / r) { －sinθ ∂_r ＋ cosθ ∂_θ ∂_r } ※④より ＋ (sin θ / r^2) { cosθ ∂_θ ＋ sinθ (∂_θ)^2 } ※⑤より

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ＝ ※1行目 ＋ cos^2 θ (∂_r)^2 ＋ (sinθ cosθ / r^2) ∂_θ － (sinθ cosθ / r) ∂_r ∂_θ ※2行目 ＋ (sin^2 θ / r) ∂_r － (sinθ cosθ / r) ∂_θ ∂_r ＋ (sinθ cosθ / r^2) ∂_θ ＋ (sin^2 θ / r^2) (∂_θ)^2 微分演算子の次数ごとに整理すると ＝

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ＋ cos^2 θ (∂_r)^2 ＋ (sin^2 θ / r^2) (∂_θ)^2 － (sinθ cosθ / r) ∂_r ∂_θ － (sinθ cosθ / r) ∂_θ ∂_r ＋ (sin^2 θ / r) ∂_r ＋ (sinθ cosθ / r^2) ∂_θ ＋ (sinθ cosθ / r^2) ∂_θ ＝

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ＋ cos^2 θ (∂_r)^2 ＋ (sin^2 θ / r^2) (∂_θ)^2 － (2 sinθ cosθ / r) ∂_r ∂_θ ＋ (sin^2 θ / r) ∂_r ＋ (2 sinθ cosθ / r^2) ∂_θ となり，(∂/∂z)^2 を極座標表示できることを確かめよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 12週の #山田への化学 問８３ ①問62で求めた (∂/∂x)^2 と， ②問69で求めた (∂/∂y)^2 と， ③問76で求めた (∂/∂z)^2 と をそれぞれ足し合わせることで，ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2 ＋ (∂/∂y)^2 ＋ (∂/∂z)^2 の極座標表示の最終形を導出しよう。 まず①②③の各々を列挙すると，

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ① (∂/∂x)^2 ＝ ＋ sin^2 θ cos^2 φ (∂_r)^2 ＋ (cos^2 φ cos^2 θ / r^2) (∂_θ)^2 ＋ (sin^2 φ / r^2 sin^2 θ) (∂_φ)^2 ＋( 2 sinθ cosθ cos^2 φ / r) ∂_r ∂_θ －( 2 sinφ cosφ / r) ∂_r ∂_φ －( 2 sinφ cosφ cosθ / r^2 sinθ) ∂_φ ∂_θ ＋{ (cos^2 φ cos^2 θ＋sin^2 φ) / r } ∂_r

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@zattanatubuyaki @C4TTUS －( 2 sinθ cosθ cos^2 φ / r^2) ∂_θ ＋(sin^2 φ cosθ / r^2 sinθ) ∂_θ ＋(2 sinφ cosφ / r^2 sin^2 θ) ∂_φ ② (∂/∂y)^2 ＝ ＋ sin^2 θ sin^2 φ (∂_r)^2 ＋ (sin^2 φ cos^2 θ / r^2) (∂_θ)^2 ＋ (cos^2 φ / r^2 sin^2 θ) (∂_φ)^2 ＋ (2 sinθ cosθ sin^2 φ / r) ∂_r ∂_θ

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ＋ (2 sinφ cosφ / r) ∂_r ∂_φ ＋ (2 sinφ cosφ cosθ / r^2 sinθ) ∂_φ ∂_θ ＋ { (sin^2 φ cos^2 θ ＋ cos^2 φ) / r } ∂_r － (2 sinθ cosθ sin^2 φ / r^2) ∂_θ ＋ (cos^2 φ cosθ / r^2 sinθ) ∂_θ － (2 sinφ cosφ / r^2 sin^2 θ) ∂_φ ③ (∂/∂z)^2 ＝ ＋ cos^2 θ (∂_r)^2

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ＋ (sin^2 θ / r^2) (∂_θ)^2 － (2 sinθ cosθ / r) ∂_r ∂_θ ＋ (sin^2 θ / r) ∂_r ＋ (2 sinθ cosθ / r^2) ∂_θ 上記の和をとって，微分演算子の次数ごとに整理すると (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ＝ ＋ sin^2 θ cos^2 φ (∂_r)^2 ＋ sin^2 θ sin^2 φ (∂_r)^2 ＋ cos^2 θ (∂_r)^2

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ＋ (cos^2 φ cos^2 θ / r^2) (∂_θ)^2 ＋ (sin^2 φ cos^2 θ / r^2) (∂_θ)^2 ＋ (sin^2 θ / r^2) (∂_θ)^2 ＋ (sin^2 φ / r^2 sin^2 θ) (∂_φ)^2 ＋ (cos^2 φ / r^2 sin^2 θ) (∂_φ)^2 ＋ (2 sinθ cosθ cos^2 φ / r) ∂_r ∂_θ ＋ (2 sinθ cosθ sin^2 φ / r) ∂_r ∂_θ

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@zattanatubuyaki @C4TTUS － (2 sinθ cosθ / r) ∂_r ∂_θ － (2 sinφ cosφ / r) ∂_r ∂_φ ＋ (2 sinφ cosφ / r) ∂_r ∂_φ － (2 sinφ cosφ cosθ / r^2 sinθ) ∂_φ ∂_θ ＋ (2 sinφ cosφ cosθ / r^2 sinθ) ∂_φ ∂_θ ＋ { (cos^2 φ cos^2 θ ＋ sin^2 φ) / r } ∂_r ＋ { (sin^2 φ cos^2 θ ＋ cos^2 φ) / r } ∂_r

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ＋ (sin^2 θ / r) ∂_r － (2 sinθ cosθ cos^2 φ / r^2) ∂_θ － (2 sinθ cosθ sin^2 φ / r^2) ∂_θ ＋ (2 sinθ cosθ / r^2) ∂_θ ＋ (sin^2 φ cosθ / r^2 sinθ) ∂_θ ＋ (cos^2 φ cosθ / r^2 sinθ) ∂_θ ＋ (2 sinφ cosφ / r^2 sin^2 θ) ∂_φ － (2 sinφ cosφ / r^2 sin^2 θ) ∂_φ

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ＝ ＋ 1・(∂_r)^2 ＋ (1 / r^2) (∂_θ)^2 ＋ (1 / r^2 sin^2 θ) (∂_φ)^2 ＋ 0・∂_r ∂_θ ＋ 0・∂_r ∂_φ ＋ 0・∂_φ ∂_θ ＋ { ( [ cos^2 φ ＋ sin^2 φ] cos^2 θ ＋ sin^2 θ ＋ sin^2 φ ＋ cos^2 φ) / r } ∂_r － (2 sinθ cosθ [ cos^2 φ ＋ sin^2 φ － 1] / r^2) ∂_θ

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ＋ ( [ sin^2 φ ＋ cos^2 φ ] cosθ / r^2 sinθ) ∂_θ ＋ 0・∂_φ ＝ ＋ (∂_r)^2 ＋ (1 / r^2) (∂_θ)^2 ＋ (1 / r^2 sin^2 θ) (∂_φ)^2 ＋ (2 / r) ∂_r ＋ (cosθ / r^2 sinθ) ∂_θ

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ＝ (∂/∂r)^2 ＋ (1 / r^2)(∂/∂θ)^2 ＋ (1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2 ＋ (2 /r)(∂/∂r) ＋ (cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) を得ることを示せ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 講評 ここまでの連ツイの内容は全て、 下記のタグで定期ツイートとして 繰り返しつぶやくように設定済みである。 #シュレディンガー方程式の導出 #3次元・極座標のラプラシアン導出 必要に応じ、復習のために参照されたい。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ※「山田への化学」は、第一部完結済である。 twitter.com/buturi_tan/sta…

物理たん (大学の物理学の入門用・学術たん。物理学たん) @buturi_tan

@zattanatubuyaki @C4TTUS ぜひ今後とも，良い計画と，賢い優先順位のプランのもとで進路を調整してゆかれることを望むばかりである。 （「#山田へのその他の物理と口頭試問対策」 　第１部　完） （「#山田への化学」 　第１部　完）

2022-06-24 20:35:04