カントールの対角線論法

m2ym @m2ym

@kazu_yamamoto その本は読んだことないですが、集合論に関してはWebとか入門書で少し勉強しました。それで、僕のイメージですが、無限個の実数から新たな実数を作り出す作業って、選択公理的に言えば自明じゃない作業だと思ったわけです

m2ym @m2ym

@kazu_yamamoto ただ、選び出す対象が集合ではなく実数なので、そこに何か仕掛けがあるのかもしれません。なんしても、選択公理というのはよく分かっていません

山本和彦 @kazu_yamamoto

.@m2ym とりあえず、どの対角線論法の話をしているのか教えて。0 と 1 の間の実数をすべて列挙する話？

m2ym @m2ym

ぼくが知っているのはそれです。 RT @kazu_yamamoto: .@m2ym とりあえず、どの対角線論法の話をしているのか教えて。0 と 1 の間の実数をすべて列挙する話？

山本和彦 @kazu_yamamoto

.@m2ym その対角線論法では、加算無限に収まらないことを示しているので、加算無限で選択していて、選択公理は実無限で選択する話じゃないかなぁ。全然勘違いかもしれないけれど。

山本和彦 @kazu_yamamoto

.@m2ym 数学科の人からいい評判を聞いたことはないですが、「無限論の教室」もお勧めです。数学科の人は、細かい間違いが許せないらしい。（対角線論法を二進数でやるな！とか）

[1..100]＞＞=pen @1to100pen

@m2ym 選択公理は「集合が無限個あって各集合から１個ずつ要素を取ってこれる（注：この表現はイメージです）」的な話ですが対角線論法は無限個の集合を扱ってましたっけ（ある集合の要素数が無限個とは別の話です）。ググったかぎりでは選択公理は必要ないようです。

m2ym @m2ym

あ、というよりは、そのように明らかに増え続ける無限集合を一度に選択する自明な方法がないと言いたいのです。すなわち、選択公理がないとダメなんじゃないかと RT @kazu_yamamoto: .@m2ym 濃度で加算無限を超える話？ ぜひ、無限論の教室を読んで下さい。

[1..100]＞＞=pen @1to100pen

@m2ym 証明のどのステップが釈然としないかつきつめれば問題がはっきりするのでは。

スマートコン @mr_konn

@m2ym まず自然数から実数への全単射φが与えられてそこから新たな実数を構成する訳で、そのφ(n)に対してそのn桁目を与える函数は具体的に書き下せるので、特に選択公理を使うことはないと思います。

山本和彦 @kazu_yamamoto

.@mr_konn @m2ym お勧めはどの本？

m2ym @m2ym

あ、なるほど。やはり実数の性質を利用するわけですね RT @mr_konn: @m2ym まず自然数から実数への全単射φが与えられてそこから新たな実数を構成する訳で、そのφ(n)に対してそのn桁目を与える函数は具体的に書き下せるので、特に選択公理を使うことはないと思います。

m2ym @m2ym

実数そのものが桁に関して整礎になってて、わざわざ選択公理使わんでもいいとか、そういうことになってるんかな

m2ym @m2ym

@mr_konn ところで、各集合から要素を取り出す関数が具体的に示せれば、選択公理はいらないというのは本当なんですか？なんだか僕の解釈が間違ってる気がしますが

m2ym @m2ym

@mr_konn なるほど。僕は、ある集合族における任意の写像を使って、その集合族から集合を作り出す作業が「存在」するかどうかを公理としたものが選択公理だと思っていたのですが、その解釈は間違いだということですね