第五回ひらいずみセミナー

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@waheyhey 待てよ…ワヘイヘイは寝る権利を持つのか…?

ワヘイヘイ @waheyhey

@alg_d 布団埋め込み！！！

ワヘイヘイ @waheyhey

12 ９←・ ３ ↓ ６ 睡眠時間拡張チャンス！！

ぶる・ぶーる・ぶる子 @burbur_h

@waheyhey ぶる子はワセジョだから寝坊なんてしないよ〜？みんなだらしないなー

ワヘイヘイ @waheyhey

@burbur_h 滅べ

V-alg-d（ZZ） @alg_d

Banach *環の表現 ! そういうのもあるのか !

V-alg-d（ZZ） @alg_d

冷静に考えて時間が足りないことに気づいたほうのパン耳

V-alg-d（ZZ） @alg_d

von Neumann環の定義氏～～～～～～」

V-alg-d（ZZ） @alg_d

H: Hilbert空間，S⊂B(H)に対して S' := { x∈B(H) | ∀y∈S, yx=xy }

V-alg-d（ZZ） @alg_d

B(H)には三つの位相が定まる。ノルム位相≧強位相≧弱位相。

p進大好きbot @non_archimedean

@alg_d 少なすぎませんか。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

「1はあるんですか ! 」

もっぴー @mopiopio

アルゴドゥーが謎の実況してる

V-alg-d（ZZ） @alg_d

*-subalg A⊂B(H)が弱位相で閉であるとき，Aをvon Neumann環という．

V-alg-d（ZZ） @alg_d

【定理】*-subalg A⊂B(H)に対して次は同値　 (1) Aはvon Neumann環　 (2) Aは強位相で閉　 (3) A'' = A

V-alg-d（ZZ） @alg_d

【定理】von Nuemann環 A⊂B(H) に対して M := { p∈A | p^2=p=p* } とすれば A=M''　■

V-alg-d（ZZ） @alg_d

やっべ飽きてきた

V-alg-d（ZZ） @alg_d

A: Banach *-alg　 φ: A→C: 線型　がpositive ⇔ ∀x∈A, φ(x*x)≧0

V-alg-d（ZZ） @alg_d

φ(x*y)=\overline{φ(y*x)}　 (∵)λ∈Cに対して 0≦φ( (x+λy)*(x+λy) ) = φ(x*x)+λφ(x*y)+\bar{λ}φ(y*x)+|λ|^2φ(y*y)　 ここでλ=1, iとすればよい．■

V-alg-d（ZZ） @alg_d

φ(x*y)≦φ(x*x)φ(y*y)　 (∵) φ(x*y)≠0のとき，先の式でλ=-φ(x*x)/φ(x*y) とすればよい．■

V-alg-d（ZZ） @alg_d

φがhermitian ⇔ x∈A, x*=xに対してφ(x)∈R　 ⇔∀x∈A, φ(x*)=\overline{φ(x)} φがbounded variation ⇔φがpositive，hermitianで ∀x∈A, ∃λ>0, |φ(x)|^2≦λφ(x*x)

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@alg_d このλのinfをv(φ)と書く．

V-alg-d（ZZ） @alg_d

【命題】φ: A→C: positiveに対して (1) φがbounded variation ⇒φが連続で ||φ||≦v(φ)sup{ ||x*||/||x|| : x≠0 }　

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@alg_d (2) 「∀x∈A, ∀ε>0, ∃u∈A, ||u||≦1, ||ux-x||≦ε, ||xu-x||≦ε」のとき，φがconti. hermitian⇒φ: bounded variation　■