「2乗して同じ数の並びが2回繰り返される自然数」から「1/49」まで
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tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
1/7の循環節[142857]で、142＋857＝999、14＋28＋57＝99、1＋4＋2＋8＋5＋7＝9×3 になるのは、割と知られた事実です。今の「1/49の循環節」のからくりは、この1/7の性質と相通じるものがあります。
2011-07-14 22:01:53
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
ここ数日、1/49に関するネタをつぶやいています。今日もまた新ネタを見つけたので、それらをつぶやいていきます。今回は、1÷49を計算したときの余りについてのネタです。
2011-07-16 22:55:03
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
【1÷49の余り】地道な割り算で1/49の小数展開を求める際、1桁割り算を進めるごとに余りが求まります。その余りを並べた数列を考えます。1/49の小数展開は42桁の循環節を持つので、この数列も42項ごとに循環します。
2011-07-16 22:59:12
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
【1÷49の余り】余り数列→ {1,10,2,20,4,40,8,31,16,13,32,26,15,3,30,6,11,12,22,24,44,48,39,47,29,45,9,41,18,33,36,17,23,34,46,19,43,38,37,27,25,5｜1,…}
2011-07-16 23:05:51
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
【1÷49の余り】この数列の奇数番目だけ抜き出します。{1,2,4,8,16,32,15,30,11,…} 公比2の等比数列のようですが、一部うまくいきません。それもそのはず。「余り」を並べた数列なので、49以上の数からは49を引くと考えると帳尻が合います。偶数番目も同様です。
2011-07-16 23:11:06
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
【1÷49の余り】1/49の循環節は [02040816…93877551] でした。先頭の0を末尾に移して [204…510] とすると、これは10/49の循環節となります。さらに先頭の2を末尾に動かした [040…102] は2/49の循環節です。分子を見てみると……
2011-07-16 23:20:36
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
【1÷49の余り】分子を見ると、先程の余りを並べた数列に一致します。これを考えると、この数列に7の倍数が登場しないのも納得できます。約分されて、循環節が変わってしまうからですね。
2011-07-16 23:23:16
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
【1÷49の余り】一昨日、1/49の循環節 [020408 163265 306122 448979 591836 734693 877551]を6桁ずつに区切ると差が一定になることを紹介しました。実は順に1/49、8/49、15/49、…に対応していただけなのです。
2011-07-16 23:27:51
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
【1÷49の余り】一昨日の循環節のネタである「21桁ごとの和」「14桁ごとの和」「7桁ごとの和」もそれぞれ、ここで紹介した分母49の分数に対応させるとからくりがわかるかと思います。
2011-07-16 23:31:08
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
今日の1/49ネタは以上です。初項・公比1/50の無限等比級数としての顔と、1/7の2乗としての顔との両面性が、こういう豊かな性質を生み出しているのでしょうね。まだまだ隠れている性質はあるでしょうか？
2011-07-16 23:36:06
襖屋石蔵 Ishizo FUSUMAYA
@shz_fsmy
http://twitter.com/shz_fsmy/status/91313295788740608 の続き. 1/49 の計算: (4) (10^42-1)/(10^6-1) を 2 通りに展開する. #math http://twitpic.com/5x3w83
2011-07-28 20:30:29
襖屋石蔵 Ishizo FUSUMAYA
@shz_fsmy
@tb_lb なるほど. 数列 2,4,8,16,32,... の母関数が G(x) = 2x/(1-2x) = 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + 32x^5 + ... だから, G(0.01) = 1/49 = 0.0204081632... なのですね.
2011-08-10 17:59:25
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
この式に x＝0.1 を代入すると、なかなか味わい深いですね。（続く） RT @shz_fsmy: …数列 2,4,8,16,32,... の母関数がG(x) = 2x/(1-2x) = 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + 32x^5 + ... …
2011-08-11 01:02:16
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
続き）G(0.1)＝1/4 で、級数の式にも x＝0.1 を代入すると .2＋.04＋.008＋.0016＋.00032＋…＝0.249999… 。999…の並びが面白いです。そもそも、1/4がこのようなシンプルな無限等比級数で表されるのに驚きです。 @shz_fsmy
2011-08-11 01:09:28