四一郎さんの「0で割る話」

四一郎 @yon_ichiro

（１）さて、数日前TL上で話題になった「０で割る話」、について少々書いてみます。この問題はずっと昔からあると思っています。そして、純粋に算数・数学の枠に収まる問題ではないようにも感じています。

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（２）まずは私の妻の体験談から。小学生のころ、やはり先生に「２÷０は０だ」と言われたのだそうです。そこで妻は反論します。「２÷１＝２、２÷０．１＝２０、２÷０．０１＝２００、２÷０．００１＝２０００、……と、割る数が０に近づくにつれて割り算の結果は大きくなっていく、」（続く）

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（３）「なのに２÷０がいきなり０ではおかしいと思う。」あとでも述べますが、演算の連続性を欲すれば当然こういう考えになりますし、実際、演算の連続性は欲しいです。で、その先生の答えが「でも、０だと決まっているんだ。」もうどこからどう突っ込んでいいかわかりませんが。

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（４）妻にこの話を聞いたのは10年くらい前ですが、それから私は気にし続けていて、折りあるごとに中学生や高校生に、小学校で「０で割ること」をどう教わったかを訊いています。結果は「割れないと言われた」「０だと言われた」「そんな話は聞いたことがない」「忘れた」が拮抗しています。

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（５）で、長年いろいろな人に話を聞いているうちに、私はこの「０で割る話」には、純粋な数学的誤解のほかに、学校空間での教員と児童の関係の問題と、「答えがない」「考えない」と言うことに対する誤解がある、という考えになってきました。

四一郎 @yon_ichiro

（６）学校空間での教員と児童（生徒）の関係性については、誰しも一家言ありますよね。ここでは省略。そういえば小6のころに「カンペキってのは壁のようにきれいで整っていることです」と先生に言われ、『故事成語事典』を読んだばかりの四一郎少年は戦いましたが、もちろん負けました。

四一郎 @yon_ichiro

（７）で、次の「答えがない」「考えない」ということに対する誤解の話。いきなりですが、詰将棋というパズルがあります。互いに最善を尽くした場合、たった一通りだけ一方が勝ちになる手順がある、それを見つけよ、そして、それが確かに勝ちであることと、それ以外に勝ち手順がないことを（続く）

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（８）証明せよ、というパズルで、何百年も前からすばらしい作品が多数作られています。で、そんな中にも、パズルとして成立していないもの、失敗作がどうしてもあるわけですが、その一つが「不詰」、一方が勝ちになる手順がまったく存在しない、という場合です。

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（９）「不詰」というのは、一方がどんなに手段を尽くしても、他方に正しく応対されると勝てない、ということですが、この証明はなかなか厄介です。人間業とは思えないような妙防があったりするからで、これを発見しないと「不詰」の証明はできない。でも、そこはがんばって証明するわけです。

四一郎 @yon_ichiro

（１０）で、その「不詰」の証明がされた詰将棋、に対して「でも詰む手順があるかもしれないじゃん」とか「がんばりが足りないんじゃないの？」とか言うのっておかしいですよね。あるいは「でも銀が横に行けたら詰む」とかも変ですよね。しかし、これと似たことが数学に対して言われることがあります。

四一郎 @yon_ichiro

（１１）これは本当は「０で割る話」とはちょっと違うんですが、関連性から先に話しますが、数学には「…することは不可能である」というタイプの定理がいくつもあります。有名なのは「定規とコンパスだけでは角の三等分はできない」とか「5次以上の方程式に解の公式は存在しない」とか。

四一郎 @yon_ichiro

（１１番外）気がさすので、さっきの命題を正確に。「定規とコンパスを、作図のルールに従って用いるのみでは、一般に与えられた角を三等分することはできない」、「加減乗除と累乗根演算のみを許す限り、n≧5のときは、複素係数ｎ次方程式に対し、一般的な解の公式は存在しない」

四一郎 @yon_ichiro

（１２）で、このタイプの定理を説明すると、…いや私自身はそういう目にあったことはなくて伝聞なんですが…「いつかできるかもしれないじゃないか」「それはがんばりが足らないんだ、あきらめてどうする！」「定規とコンパス以外の器具を使えば、ほらできるよ！」みたいなことが言われるのです。

四一郎 @yon_ichiro

（１３）数学でいう「できない」とは、「これまで誰も成功したことがない」という意味ではありません。「どんな手段を尽くしてもできない、ということを論理的に証明した」ということです。まさに、詰将棋の「不詰」の証明と同じことです。「できない」はあきらめているのではなくて、（続く）

四一郎 @yon_ichiro

（１４）極めて積極的で誇りに満ちた主張なのです。だから、（１２）みたいなことを言われるのは完全にお門違い（でもそうはっきり言うといろいろ怒られるのでやんわりと）（でもそんなの無理だけどー）。野崎昭弘先生の名著『不完全性定理』は、不可能を証明しうる人間の叡智への賛歌でもあります。

四一郎 @yon_ichiro

（１５）さて、やっと「０で割る話」に戻ります。数学的見地から言うと、この話の答えは「割り算 a÷b は、b=0 のときは、定義しない」ということになります。この、『定義しない』てのもわかりにくいんだろうなあ。『考えない』ということもあるんですが余計わかりにくいのかもしれない。

四一郎 @yon_ichiro

（１６）ひらたくいえば、「０で割るということは数学の理論体系の中ではやりません」、もっと思い切って言えば「０で割ってはいけません」ということ。しかし、禁止されるとムカつきますよね。どうして、って訊きたくなりますよね。……その理由はあとにしまして、（つづく）

四一郎 @yon_ichiro

（１７）この「０で割った答えを決めない」「０で割った答えと言うものはない」というのが、誤解を招いていると思うんです。「決めないって、決めればいいじゃん」「答えがないって、問題なんだから答えはあるはずだろ」「もしかして答え知らないんじゃない？」など、現場ではきっといろいろあるはず。

四一郎 @yon_ichiro

（１８）あとで述べますが、数学で「０で割った答えを定義しない」ことには、理論全体を考慮した積極的な理由があるのです。しかしそれをよくわかっていないために、自信を持って「定めない」と言えなかったり、「あるはず」と勝手に思い込んでいる「答え」を「０」ということにしてしまうのでは、と。

四一郎 @yon_ichiro

（１９）「答えがない」ということを主張するのが大変だ、ということは、さっき言った「不詰の詰将棋」を「不詰」だと主張することの大変さ、と同じだと思います。詰まなさそう、ではだめで、すべての手順を読み切って断言しなければならない。それなりに勉強しなければできないことです。

四一郎 @yon_ichiro

（２０）もっとも、「０で割ることは定義しない」ことの数学的理由はそんなに難しくありません。これはすでにあちこちで言われているとおりです。一口に割り算と言っても、3つくらいの意味がありますが、どこから考えても「０で割った結果ってのは決めようがないなあ」と初等的に思えます。

四一郎 @yon_ichiro

（２１）「あ」２÷０とは、２kgの小麦粉を０人で等分する、ということです。しかし、なにしろ０人ですからねえ。「１人あたりの小麦粉の量」っていうのがないですね。ですから、２÷０は定められません。

四一郎 @yon_ichiro

（２２）「い」２÷０とは、２ｋｇの小麦粉を０ｋｇずつの小袋に小分けする、ということです。それでいくつ袋が必要か、ということですが、なにしろ０ｋｇですから、いくら袋を用意しても２ｋｇの小麦粉がなくなる日は絶対にやってきません。ですから、２÷０は定められません。

四一郎 @yon_ichiro

（２３）「う」２÷０とは、「０を何倍したら２になりますか？」というクイズの答えです。しかし、０って何と掛け合わせても０が答えになるんですよね。２には決してなりません。つまり、２÷０の答えとして資格を持つ数は、存在しません。

四一郎 @yon_ichiro

（２４）ところで、この話をややこしくする要因の一つに「無限」とか「無限大」とか言われるものがあります。２÷０＝無限大、みたいな。しかし、これは「無限大などという数はない」「無限大という概念が存在するとしても、それは数といえるものではない」というのが答えになります。