三角形の2辺の長さの和＝1辺の長さ？そんな馬鹿な！（私語付き）

四一郎 @yon_ichiro

（21）今回のお題は有名なもので、世の中でもいろいろな語られ方をするのですが、ときたま「ジグザグが消えないんだから、図形としてはあくまでも、折れ線は斜辺に近づいているとはいえないんだよね」と言われることもあります。それは、私は正しくないと思います。

四一郎 @yon_ichiro

（22）ようやく（11）で述べたことに戻れる。図形そのもの（の位置）が近づくことと、図形の長さが近づくことは、別なのです。ジグザグが残り続けても、折れ線そのものは斜辺に近づける。しかし、その長さは近づかない。以下数学の言葉で事情を述べますが、本質はここまでですでに書いてあります。

四一郎 @yon_ichiro

（23）ここからは斜辺BCをS、つぎつぎ作られる折れ線を順にO1、O2、O3、…と書くことにします。折れ線の列O1、O2、…の位置がSに近づくとは、折れ線たちOnとSの、平面上での距離が０に近づいていく、ということです。Oｎにいかに細かい凸凹があろうとそれは関係ありません。

四一郎 @yon_ichiro

（24）一方、折れ線の長さの列L1、L2、…ですが、これを考えるためには、まず一般的に「曲線の長さってどう決めてるの？」という考察が必要です。今の問題の場合、たまたま折れ線なので小学生にも長さは理解できるのですが、かえって本質が見えにくくなっているかもしれません。

くろとら @kurotoracchi

今年もショートパンツと黒タイツ流行続いてるのね。

くろとら @kurotoracchi

やっぱメンズはみんなピンクニットに弱いんかー 時代関係ないなーw

Nowtucker_O'Stone @tree_frog_o

@kurotoracchi やたなー、それは偏見ですよー。

くろとら @kurotoracchi

@tree_frog_o でもお好きでしょう？うふふ。

Nowtucker_O'Stone @tree_frog_o

@kurotoracchi ことらっちが着てたらどうなるかを想像して、やばいとおもた

Nowtucker_O'Stone @tree_frog_o

@kurotoracchi 社会的ないろいろをかなぐり捨てっちまいそうだぜ！

くろとら @kurotoracchi

@tree_frog_o きゃー☆ …いや、ピンク似合わないから…

四一郎 @yon_ichiro

@tree_frog_o @kurotoracchi こら、そこの二人！

くろとら @kurotoracchi

@yon_ichiro @tree_frog_o いや、わたしなんもしてないw

四一郎 @yon_ichiro

@tree_frog_o @kurotoracchi ……なんかほんとに、授業中にきゃっきゃうふふしている隣同士を叱ってる気分に……うらやましいなあ（こらこら）

くろとら @kurotoracchi

@yon_ichiro @tree_frog_o やばいっていうから、柳原可奈子にしかみえない！ていう意味かなとか思ったんですよ先生！でも柳原可奈子かわいいですよね先生？

四一郎 @yon_ichiro

@kurotoracchi @tree_frog_o お、おう……（純情真面目一本槍の若手先生がたじろいでいるの図）（そんな芸能人よりも君の方が、と授業中にいえるほどには場数を踏んでいない）

くろとら @kurotoracchi

@yon_ichiro @tree_frog_o ちょ、先生までおかしくなったら誰が止めるんですこの流れ(^_^;) 全員ボケじゃないかww

くろとら @kurotoracchi

ていうか講義終わってないじゃん先生w すんませんww

四一郎 @yon_ichiro

（25）で、曲線の長さの定め方ですが、基本的には、伊能忠敬先生のやった通りなんです。曲がった海岸線の長さを直接測定することはできませんから、短いまっすぐな線分をつなぎ合わせて海岸線を近似し、その長さをあとで足し合わせる。これで、海岸線の長さの近似値が出ます。

四一郎 @yon_ichiro

（26）実際の測定作業は無限に精密にはできませんから、どこかで誤差を含んだことを承知で打ち切ることになります。しかし、数学は何しろ実体がない学問なので、打ち切りません。どんどん精密な測定を繰り返し（思考実験し）、その極限値を、曲線の長さとして採用します。

四一郎 @yon_ichiro

（27）きちんというと：曲線Cに対して、その上に適当に点をいくつかとり、それらを順に線分で結んで、線分の長さの和を計算します。次に、そこからさらに分点を増やして、さらに細かい線分たちを作り、その長さの和を計算します。次に、…これをずっと繰り返して、長さの極限値を求めます。続く。

四一郎 @yon_ichiro

（28）続き。さて、分点の採り方は、一通りではありません。というか、めちゃめちゃたくさんあるはずですね。で、どんな分点の採り方をしても、得られる「線分の長さの和の極限値」が同じであるときに限り、その極限値を「曲線の長さ」として採用します。あらゆる分点の採り方をすべて考えるのです。

四一郎 @yon_ichiro

（29）このように曲線の長さを定義することを知ると、三陸海岸のような細かい凹凸の多い曲線の長さが長くなる理由がよりはっきりすると思います。大雑把に見る分には、三陸海岸も九十九里浜もたいした違いはない。しかし、長さを測るときには、無限に精密で優秀な（執念深い？）測定隊を想定する。

四一郎 @yon_ichiro

（30）曲線の長さを測るときには、どんな小さな凸凹ジグザグ（曲線の震えとでも言った方がいいかな？）も見逃さないのです。それを検出できるくらいまで、測定の精度を上げる。この点が、図形の位置が近づく話、「だいたい距離が小さければ細かいことはいいじゃん」っていうモードとは全く違う。

四一郎 @yon_ichiro

（31）今の話の場合「折れ線O1、O2、…の位置がSに近づく」ことには折れ線の凸凹は関係ない。しかし、「折れ線の長さL1、L2、…」には折れ線の凸凹は本質的に関係がある。だから、それが凸凹のなくなったSの長さLと無関係なのは、曲線の長さの定義からすると、不思議ではないのです。