随伴がなんなのか説明を試みる

V-alg-d（ZZ） @alg_d

はい圏論の話します

V-alg-d（ZZ） @alg_d

随伴関手の話をします

V-alg-d（ZZ） @alg_d

随伴とはなにかというと、まあなんなのかよく分かりませんが、ここでは「与えられた関手 F: C→D の、逆向きの関手 G: D→C であってなんかいい感じのもの」だと考えます。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

逆向きを考えたいので、例えば「逆関手」みたいなのがあればまあそれが一番いいんですけど、そういうのはめったに無いわけで、そこでもうちょっと条件を弱くしたのが随伴なわけです。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

ここで「F」として想定しているのは次のような関手です: 「忘却関手 Grp→Set」「忘却関手 Ab→Set」「忘却関手 Top→Set」「包含関手 CptHaus→Top」「包含関手 Ring→Rng」……

V-alg-d（ZZ） @alg_d

忘却関手と包含関手しか思いつかないけど他にも好きな関手を考えてください

V-alg-d（ZZ） @alg_d

ここでCptHaus⊂TopはコンパクトHausdorff空間がなす部分圏で、Ringは単位的環の圏、Rngは単位的とは限らない環の圏です。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

これらの「F」の逆向きを考えるというのは、例えば「Grp→Set」であれば、関手G: Set→Grpを考えるということですから、つまり「集合Xに対して群GXを作ることができるか?」ということになります。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

記号がFとG完全に逆だったので死ぬ

V-alg-d（ZZ） @alg_d

普遍性を使うことで、この「逆向きの構成」を実現することができます。これを普遍射といいます

V-alg-d（ZZ） @alg_d

普遍射の定義です(「コンマ圏c↓Gの始対象を～」の文は知ってる人向けの説明なので、知らない人は無視してください) pic.twitter.com/HrUiwbJrLb

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V-alg-d（ZZ） @alg_d

すみませんがこの定義から記号が逆になります。どういうことかというと、今からやるのはG: D→C が与えられたときに逆向きの F: C→D を構成したい、という話です。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

普遍射の定義はまぁ割と複雑ですが、慣れれば大したことないので慣れてください(^^)(^^)(^^)(^^)(^^)

V-alg-d（ZZ） @alg_d

慣れれば大したことないで今日の話終わる説ある

V-alg-d（ZZ） @alg_d

例として、先の忘却関手・包含関手をGとしたときにどうなるかを書きます。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

G: Grp→Set を忘却関手として X∈Set としたとき、XからGへの普遍射とは<FX, i>のことです。ここで「FXはXで生成される自由群」「iは包含写像 i: X→FX」です。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

G: Ab→Set を忘却関手として X∈Set としたとき、XからGへの普遍射とは<FX, i>のことです。ここで「FXはXで生成される自由アーベル群」「iは包含写像 i: X→FX」です。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

G: Top→Set を忘却関手として X∈Set としたとき、XからGへの普遍射とは<FX, id>のことです。ここで「FXはXに離散位相を入れた空間」です。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

G: CptHaus→Top を包含関手として X∈Top としたとき、XからGへの普遍射とは<FX, i>のことです。ここで「FXはXのStone-Cechコンパクト化」「iは包含写像 i: X→FX」です。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

G: Ring→Rng を包含関手として R∈Rng としたとき、RからGへの普遍射とは<FR, i>のことです。ここで「FRはRに単位元を加えた単位的環」「iは包含写像 i: R→FR」です。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

証明はまあやればできるというかなんというか

V-alg-d（ZZ） @alg_d

今やった例は、どれも任意のc∈Cに対してcからGへの普遍射が常に存在していましたが、一般には存在するとは限りません。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

ここで 【定理】C, Dを圏，G: D→Cを関手として，任意の c∈C に対してcからGへの普遍射<d_c, η_c> が存在するとする． このとき関手 F: C→D で「Fc = d_c」を満たすものが存在する．

V-alg-d（ZZ） @alg_d

「つまり普遍射が存在する」という条件を満たすことが分かれば、そこから逆向きの関手が構成できるわけです。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

特に「集合Xで生成される自由群を与える」「集合Xで生成される自由アーベル群を与える」「Xに離散位相を入れる」「Stone-Cechコンパクト化」「単位元を加える」は「逆向きの関手」になっていることが分かります。