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LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:15:16
はい圏論の話します
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:17:36
随伴関手の話をします
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:18:51
随伴とはなにかというと、まあなんなのかよく分かりませんが、ここでは「与えられた関手 F: C→D の、逆向きの関手 G: D→C であってなんかいい感じのもの」だと考えます。
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:19:46
逆向きを考えたいので、例えば「逆関手」みたいなのがあればまあそれが一番いいんですけど、そういうのはめったに無いわけで、そこでもうちょっと条件を弱くしたのが随伴なわけです。
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:22:06
ここで「F」として想定しているのは次のような関手です: 「忘却関手 Grp→Set」「忘却関手 Ab→Set」「忘却関手 Top→Set」「包含関手 CptHaus→Top」「包含関手 Ring→Rng」……
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:22:31
忘却関手と包含関手しか思いつかないけど他にも好きな関手を考えてください
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:24:02
ここでCptHaus⊂TopはコンパクトHausdorff空間がなす部分圏で、Ringは単位的環の圏、Rngは単位的とは限らない環の圏です。
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:25:35
これらの「F」の逆向きを考えるというのは、例えば「Grp→Set」であれば、関手G: Set→Grpを考えるということですから、つまり「集合Xに対して群GXを作ることができるか?」ということになります。
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:25:48
記号がFとG完全に逆だったので死ぬ
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:27:12
普遍性を使うことで、この「逆向きの構成」を実現することができます。これを普遍射といいます
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:29:43
普遍射の定義です(「コンマ圏c↓Gの始対象を~」の文は知ってる人向けの説明なので、知らない人は無視してください) pic.twitter.com/HrUiwbJrLb
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LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:30:47
すみませんがこの定義から記号が逆になります。どういうことかというと、今からやるのはG: D→C が与えられたときに逆向きの F: C→D を構成したい、という話です。
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:31:27
普遍射の定義はまぁ割と複雑ですが、慣れれば大したことないので慣れてください(^^)(^^)(^^)(^^)(^^)
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:31:46
慣れれば大したことないで今日の話終わる説ある
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:32:41
例として、先の忘却関手・包含関手をGとしたときにどうなるかを書きます。
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:34:20
G: Grp→Set を忘却関手として X∈Set としたとき、XからGへの普遍射とは<FX, i>のことです。ここで「FXはXで生成される自由群」「iは包含写像 i: X→FX」です。
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:34:57
G: Ab→Set を忘却関手として X∈Set としたとき、XからGへの普遍射とは<FX, i>のことです。ここで「FXはXで生成される自由アーベル群」「iは包含写像 i: X→FX」です。
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:36:16
G: Top→Set を忘却関手として X∈Set としたとき、XからGへの普遍射とは<FX, id>のことです。ここで「FXはXに離散位相を入れた空間」です。
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:37:30
G: CptHaus→Top を包含関手として X∈Top としたとき、XからGへの普遍射とは<FX, i>のことです。ここで「FXはXのStone-Cechコンパクト化」「iは包含写像 i: X→FX」です。
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:40:26
G: Ring→Rng を包含関手として R∈Rng としたとき、RからGへの普遍射とは<FR, i>のことです。ここで「FRはRに単位元を加えた単位的環」「iは包含写像 i: R→FR」です。
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:41:26
証明はまあやればできるというかなんというか
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:42:20
今やった例は、どれも任意のc∈Cに対してcからGへの普遍射が常に存在していましたが、一般には存在するとは限りません。
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:52:03
ここで 【定理】C, Dを圏,G: D→Cを関手として,任意の c∈C に対してcからGへの普遍射<d_c, η_c> が存在するとする. このとき関手 F: C→D で「Fc = d_c」を満たすものが存在する.
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:52:16
「つまり普遍射が存在する」という条件を満たすことが分かれば、そこから逆向きの関手が構成できるわけです。
LOST SONG @alg_d 2017-01-08 04:52:25
特に「集合Xで生成される自由群を与える」「集合Xで生成される自由アーベル群を与える」「Xに離散位相を入れる」「Stone-Cechコンパクト化」「単位元を加える」は「逆向きの関手」になっていることが分かります。
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