高専生と議論する数学の奥深さ。

Yujin6 @6yujin

高専生の弟と議論。高専にいると物事を全て理工的に捉えてしまうと言うが、ぼくの比ではないと思う。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Je @butlerbutler321

あれ、もうおわり？　RT @yujinyoshimura: 高専生の弟と議論。高専にいると物事を全て理工的に捉えてしまうと言うが、ぼくの比ではないと思う。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

きっかけは風車の羽根の話。羽根が2枚だと回転は速いがパがーがない。羽根が4枚だとパワーは強いが回転が遅い。だからバランスのいい3枚が選ばれる。ここまでは普通の人でもわかること。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

ここでぼくが抱いた疑問は、「果たして整数3がベストなのか？分数や少数、πやeといった無理数も検討できないのか？」ということ。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

つまり、羽根と羽根の角度が90度・120度・180度と離散しているが、これを連続にして検討してみたら、120度よりも効率のいいポイントが見つかるのではないかということ。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

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例えば羽根を108度で検討する場合、1枚目を0度に置き、2枚目が108度、3枚目が216度、4枚目が324度になる。4枚目は1枚目と微妙に重ならないから、2周目に突入、5枚目は72度になる。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

円を重ねることはできないから、Helix状に羽根を配置することになる。108度の場合は3周すれば羽根が10枚で元に戻る。弟曰く、これはシミュレーションできるとのこと。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

分数の場合は有限回数で戻るからシミュレーションは簡単だけど、π枚数だったらどうする？答えは、22/7のような近い分数に置き換えてシミュレーションすること。7周22枚で元に戻るから。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

普通の人なら「少数点のある枚数」と言うと羽根のサイズを変えることを想像するらしいが、角度を変えるという発想にはなかなかならないらしい。この話を理解できる我が弟はさすが。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

ただし、Helix状に羽根を配置すると、一番表の羽根が受ける風力エネルギーと後ろの羽根が受ける風力エネルギーに差が出ることになる。なんせエネルギー変換してるもんね。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

これを解決するためには、後ろの羽根のサイズを大きくしたり、角度を浅くしたりといった工夫が必要になる。だから普通の人の発想も間違いではない。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

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更に言えば、羽根と羽根の角度を一定に保つ必要すらないのかもしれない。弟曰く、例えば黄金比 1:1.618... にするとか。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

黄金比で螺旋状に羽根を配置するとフィボナッチ数列になる。1 + 1.618... = 2.618... 以下略。見た目的には、アンモナイトみたいな巻き貝を想像するとわかりやすい。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

そして気づく。このデザインは、レオナルド・ダ・ヴィンチが「空飛ぶ機械」としてスケッチしたものと合致すると。400年以上前だが、 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

ダ・ヴィンチは偉大であると改めて認識するのと同時に、この400年間でダ・ヴィンチの設計思想を理解できた人は少ないということを知る。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

まぁ「最適」が整数とは限らないって、当たり前のようで当たり前じゃないんだよね。微積分を習っても、使い方を知らない人って多い気がする。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

例えばe. 弟は「log は理解できるが ln はなぜ e を使うのか理解できない」と言っていたが、微積分するようになると、e の偉大さに気づくよ。ネイピアとオイラーに感謝。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

例えば 「x の x 乗根」というものを考えるとして、x = 2 の場合は2の平方根=1.414..., x = 4 の場合は4の4乗根=1.414... で同じになる。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

「x の x 乗根」が最大になる整数解は、 x = 3 の場合の3の立方根。だけど、整数に限定しなかったら、 x = e の場合の e の e 乗根が最大になる。改めて、e = 2.818...は偉大。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

ところが、e 乗根の意味を説明するのが難しい。3の立方根なら「立方体の体積が3の場合、一辺の長さは何か？」と解釈できるし、3次元の世界は想像しやすい。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

ぼくは4次元であれ5次元であれ整数であれば想像することができる。形容するのは難しいけど、脳内で5次元をイメージできる。なのに、e 次元はイメージできない。ぼくの想像力の限界。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

普通の人は4次元や5次元は想像できないし、3次元だけで苦労する人もいると弟は言う。だから、5次元の問題を出されて計算せずに答えて「頭の中で数えました」なんて言うぼくは相当変な人に見られてるんだろうな。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

例えばスイカの分割の問題。なるべく多い個数に分割したい時、どうするか。包丁を1回入れれば2個。2回入れれば4個。3回入れれば8個。ここまでは想像しやすい。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

ところが4回目になると急に難しくなるらしい。縦・横・高さの3面に対して全てに斜めになり、さらに3面の交点を避けるような面で包丁を入れるといっても伝わらない。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)

Yujin6 @6yujin

4回包丁を入れると、1個はスイカの甘い部分で皮なしのやつになると説明したら、弟は理解できたらしい。ぼくは断面を2次元に落としこんで考えるから、頭の中で数えるだけで答えがわかる。ちなみに15個。 ( #yujin live at http://ustre.am/quPi)