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こなみひでお @konamih
イアン・スチュアートの「2次元より平らな世界―ヴィッキー・ライン嬢の幾何学世界遍歴」も素晴らしい物語で,青木薫さんの名訳です。残念ながら絶版なのですが,古本はまだありそう。若い人にも読んでもらいたい名著です。 twitter.com/Polyhedrondiar…
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
19世紀に書かれた『フラットランド』。その衣鉢を継いだスピンオフ作品の中でもよく読まれ,しかも訳者が青木薫さんという豪華さ! 本家のあと百年に及ぶ幾何学の発展が反映されていて,素晴らしく中味に富んだ内容になっている。 twitter.com/Polyhedrondiar…
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第3章にケプラー予想。これも青木さんの翻訳で,名著。 twitter.com/Polyhedrondiar…
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ケプラー予想,すなわち「球の最も密な充填構造は六方最密充填である」という予想が正しいことを,トム・ヘールズが約400年ぶりに証明した(1998年)。四色予想と同様,コンピュータを用いた証明である。 @
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格子状の球配置に限ったケプラー予想はすでにガウスによって証明されていたが,不規則な球配置を許容したときに,六方最密充填より密な充填ができないことを示すのは非常に難しかった。 @
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ほとんど自明に思える,円の最密充填(どの円にも6個の円が接する格子状の配置)についてさえ,証明されたのは20世紀の中ごろである。ケプラー予想では,最密充填に起こりうる局所的パターンが多くあり,それらをすべて数え上げ,それぞれについて計算し検証する必要があった。 @
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第4章にn次元超球面。 三次元超球面について初めて知ったとき程の目から鱗が落ちた体験は,これまでの人生で数度しかないかも。 twitter.com/Polyhedrondiar…
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正多面体では唯一,立方体だけが平らな空間を充填するけれど,あれは四次元正多胞体の一種(超球面を平らな三次元空間に潰した場合)とも言えるわけですね twitter.com/Polyhedrondiar…
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高次元になるほど,球の表面は大円近傍に集まってくる。円周に占める対蹠点近傍の割合と,球面に占める大円近傍の割合を比べれば,その類推で分かるかも? 無限次元の超球面が,その超大円に無限小の幅をもたせた超球帯にほとんど含まれるのは驚き twitter.com/ProbFact/statu…
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把握しにくい高次元の幾何学も,身近な低次元の幾何学から類推できて,しかもそれを代数的に確かめられること。そしてそうやって突き詰めて考えていくことで,世界がどんどん広がっていくことが,魅力的すぎて…。 twitter.com/Polyhedrondiar…
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第5章はフラクタルと非整数次元。 シェルピンスキーのガスケットとカーペット,メンガーのスポンジ,それにマンデルブロ集合。 「直交する方向の数」という幾何学の次元の概念が拡張されていく。こういうのが数学の本質だよね。 twitter.com/Polyhedrondiar…
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これすごい! コンパスと定規で作図できる正奇数角形と,フラクタル図形の興味深い関係。 0と1で描いたシェルピンスキー三角形の各行を2進数として見ると,見事にその奇数に対応している。 mathworld.wolfram.com/SierpinskiSiev… p.twipple.jp/o1WMp
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掛谷の針の解説動画あった~。フラクタル。 Kakeya's Needle Problem - Numberphile youtu.be/j-dce6QmVAQ p.twipple.jp/Izc4V p.twipple.jp/CDGRm
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第6章,トポロジー。 端をもつ二次元多様体であるメビウスの帯が向き付けられないこと。三次元ユークリッド空間に埋め込み可能で実際に手に取れる,身近なこの形にも不思議がいっぱい。楽しい! twitter.com/Polyhedrondiar…
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メビウスの輪の三次元バージョンがクラインの壺。メビウスの輪では帯の表裏の区別がつかなかったが,クラインの壺は壺の内外の区別がつかない。三次元図形だけど四次元空間じゃないと存在できない。 /クラインの壺 - Wikipedia ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF… @
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【訂正】二つ前のツイート,間違い。クラインの壺はメビウスの輪と同じく二次元図形。 @
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「メビウスの下帯」の遊具もありそう。 Möbius Shorts -- from Wolfram MathWorld mathworld.wolfram.com/MoebiusShorts.… pic.twitter.com/ZpIF4okrrm
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地図塗分けに必要十分な色の数。平面又は球面上だと四色,メビウスの帯上だと六色,トーラス上だと七色。 "Coloring a map on a torus can take up to seven colors." twitter.com/TopologyFact/s…
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第7章は射影幾何学。一般向け書籍ではあまり取り上げられない分野だけど,幾何学研究の根本に関わる重要な分野。 第8章は有限射影幾何学。あまり幾何学っぽくないけれど,応用も広く,符号理論とも関係が深い。 twitter.com/Polyhedrondiar…
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めっちゃ楽しいです😃💕 a=1 円板 ab=ac アニュラス aba=c メビウスの帯 (aab=1 十字帽と位相同型) a=a 球面 ab=ba トーラス aba=b クライン管 aa=1 射影平面 twitter.com/Polyhedrondiar…
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球面上の正多面体(普通の正多面体)は,正四面体,立方体,正八面体,正十二面体,正二十面体とあるけど, 射影平面上の正多面体には,正二面体,正三面体,正四面体,正六面体,正十面体があるから,面数がちょうど半分になってるのか。ふむー。p.197 pic.twitter.com/Z6rpItMh6O
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ほんとに面白い。 「メビウスの帯の縁にぐるっと円板を貼りつけた,表裏の区別がない閉曲面」というトポロジカルな定義と, 「平坦なxy平面に無限遠直線を付け足したもの」という座標幾何学的な定義が,実は同じものを指してるとか,この話だけでも射影平面の凄さがひしひしと感じられる。
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球面の(赤道を含まない)北半球に,対蹠点を同一視した赤道を合わせたものも,射影平面になってる。 北極点で接する平面に,北半球を球の中心から投影したものが,座標平面+無限遠直線になってるイメージが分かりやすいと思います。 goo.gl/images/8zVw6k
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
さらに「平坦な3次元空間内の原点を通る直線すべての集合」も射影平面になっている。さっきの中心投影を直線の束として解釈するわけです。 見方を変えても本質は同じ。そういう真理があることを,数学は強烈な説得力で教えてくれます。
{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary
しかも実用性もちゃんとある。 普通の平面では平行な2直線は決して交わらないけど,射影平面では,どんな2直線も一点で交わります(平行線は無限遠直線上の一点で交わる)。 すなわち平行線を特別扱いしなくていいから幾何学の定理がいろいろ簡単になるのです。もうこれは楽しすぎでしょう。
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