多角形の極限が円に一致するとはどういうことか

さのたけと @taketo1024

円は _____ である。 （数学的な主張としてでなく感覚でお答え下さい）

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

これを見て、以前「正n角形のn->∞の極限は本当に円に一致するか？」と疑問に思ったのを思い出しました。まだ自分の中で答えが出ていません。 有名な多角形を使って円周率を求める方法も、不等式 内接する正n角形の周の長さ < 円周の長さ < 外接する正n角形の周の長さ の挟みうちにより（続く） twitter.com/taketo1024/sta…

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

円周を求めているわけです。上の方法ではあくまで長さの極限が一致するという主張に留まっています。（多角形の極限が円に一致するとは言っていません。） 振り返ってみると「ある図形の極限が別の図形に一致するとはどういうことか」について、自分の中には考えがないことに気づきました。

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

どなたかこの疑問について、こうやって考えれば良いよ、というのを知っている方がおられましたら是非教えてください^_^

キグロ＠カクヨム @kiguro_masanao

@tsujimotter それは、これに関わりのある話題だったりするでしょうか？ originalnews.nico/148297

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@kiguro_masanao おお、まさにその記事が話題になったときに生まれた疑問です！

あり @ta_to_co

@tsujimotter 円と多角形も(多価)関数なので、関数の間の距離を測れば、例えば、各点の距離のsupノルムで評価するのはいかがでしょうか?

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@ta_to_co ありがとうございます！ 「円と多角形も関数なので」というのはどういう意味でしょうか？円は関数x^2+y^2-1の零点集合みたいな話でしょうか？（多角形？）

Wataru @nkswtr

@tsujimotter 正n角形をnについて3~∞まで和集合をとり、それと円の共通部分をとっても円の点の全ては含まれないので、僕は多角形の極限は円に一致しないと思います

ｴﾇ @nnunununun

@tsujimotter 詳しく計算したわけではないのですが、それやるならハウスドルフ距離でも入れた距離空間考えるべきではないのかと思います

リュウパッチョ @ryu_paccho

@tsujimotter 確かに、周の長さの一致と図形としての一致にはギャップがありそうですね。 円が「一点から等距離な点全体の集合」と考えれば、 「正n角形の中心からその周の任意の点への長さが、n→∞で一致する」 ではどうでしょうか。 中心から周への最長(角)と最短(辺)の距離の一致の方が良いかも。

nishimura @icqk3

@tsujimotter 少し長いです。例えば面積1の正n角形をA[n]とおいて面積1の円周をSとおきます。 A[n]が円周Sに収束することを、 「Sを包含する任意のXの開集合Uに対して、あるNが存在して、 n≧Nならば、A[n]はSに包含される」 と解釈するのが、１つの発想でした。

nishimura @icqk3

@tsujimotter より正式に議論するには 2次元平面をXとして、Xの部分集合からなる集合（冪集合を）P(X)として、A[n]やSをP(X)の元と解釈します。 P(X)に、位相構造を与えることで、P(X)の元の列の収束を議論できます。 しかしXが位相構造を元にP(X)に位相構造を自然に与えることはそれほど自然にはできません。

nishimura @icqk3

@tsujimotter 私が考えた1つの方法は、Xの開集合Uに対してUの部分集合からなる冪集合をP(U)を、開集合の基だと宣言することで、P(X)に位相構造を与える方法です。 この位相で収束を考えると、（たぶん）最初に紹介した記述に合致する言葉になるような気がします。

数学を崇拝する折鶴 @dVe38LDcHHy49Or

@tsujimotter 正n角形の頂点に着目すると、 円周の定義を中心からの距離が等しい点の集合とすると、 lim_{θ→∞}(cos(θ/n),sin(θ/n))は円周に成ると思ったり思わなかったり。証明と成ると難しいですネ。

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter 色々な方法（位相）で収束を示せると思うのでちょっとやってみます👍

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 ありがとうございます！ぜひお願いします😊

あり @ta_to_co

@tsujimotter いえ、例えば、重心が原点とした場合、x>0,y>0の所だけ考えると円も多項式もy = f(x)と1価関数で表せるわけじゃないですか. なので、関数同士が1価になる範囲に制限して,一致するか判断すればよいかなと思いました。 (範囲を制限するので、適切なフォローは必要です。)

TokusiN @toku51n

@tsujimotter 円に面積1,1/2,1/4.…の正方形を敷き詰めて積分した図形は円に一致するか？ 面積は一致するけど円周率は4になるはず。

nishimura @icqk3

@tsujimotter 訂正です。「A[n]はSに包含される」は「A[n]はUに包含される」の間違いです。

Shimoya-man @cyclocaster

@tsujimotter 多角形Cnの任意の点Pnをとり、その点列P1、P2、…を考える。その点列の収束先が必ず円上の点になり、かつその円上の任意の点に対し、その点に収束するような点列が存在する、とかどうでしょう。

岡竜之介tech @agajo_tech

@tsujimotter 面白そうな話題だったので僕も考えてみました。 こんな感じでどうでしょうか。 pic.twitter.com/QJN5UWqRrG

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岡竜之介tech @agajo_tech

@tsujimotter この定義なら、「正n角形の極限は円に一致する」と言えます。 ただ、例えば「極座標で(r,θ)=(1,n)に順に点を打っていく」で作られる図形列も極限が円に一致すると思うのですが、これは有限集合なので、極限が円に一致すると言うのは気持ち悪い感じもします。

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@ta_to_co なるほど、x>0,y>0の範囲では円はf(x)=√(1-x^2)で書けて、正n角形の方はf_n(x)と表す。関数列(f_n(x))はsupノルムでf(x)に収束する（一様収束する）ことを示せば良いというわけですね！