選択公理を認めるならば、可算濃度は無限集合の濃度のうち最小のものであることが示される。

くっちんぱ @kuttinpa

＞選択公理を認めるならば、可算濃度は無限集合の濃度のうち最小のものであることが示される。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88 要るか？

くるる @kururu_goedel

@kuttinpa 確か可算な部分集合を持たない無限集合が存在するようなZFのモデルが作れるはずです。というか、デデキント無限でない無限集合はその性質を持ちます。

鏡 弘道 @kagami_hr

http://bit.ly/pocKJm 「同時に A の可算個の実数を扱う手段がないので」の部分かも。 RT @kuttinpa: ＞選択公理を認めるならば、可算濃度は無限集合の濃度のうち最小のものであることが示される。 http://bit.ly/pmFVk7 要るか？

鏡 弘道 @kagami_hr

くだんの整列不可能な実数列は間違いなく ω からの単射は存在しないと思われる。厳密に証明してみたいな。

くっちんぱ @kuttinpa

まずい、わからん RT @kagami_hr: http://bit.ly/pocKJm 「同時に A の可算個の実数を扱う手段がないので」の部分かも。 RT @kuttinpa: ＞選択公理を認めるならば、可算濃度は無限集合の濃度のうち最小のものであることが示され

鏡 弘道 @kagami_hr

@kuttinpa 選択公理が成立しないモデルは難しいと思います。

くっちんぱ @kuttinpa

@kagami_hr ・Aが無限集合だとして、Aの元を１つとりf(0)とする→A＼{f(0)}は空でないので、ここから元を１つとりf(1)とする→A＼{f(0),f(1)}は空ではないので、ここからf(2)を・・・ というふうにN→Aの単射が作れると思ったのですが・・・

鏡 弘道 @kagami_hr

「とる」のが選択公理なのでは。 RT @kuttinpa: @kagami_hr ・Aが無限集合だとして、Aの元を１つとりf(0)とする→A＼{f(0)}は空でないので、ここから元を１つとりf(1)とする→A＼{f(0),f(1)}は空ではないので、ここからf(2)を・・・ (略

くっちんぱ @kuttinpa

@kagami_hr 「空でない集合から元をひとつ取り出す」のには選択公理がいるのか・・・選択公理というのは、「空でない（無限個の）集合から元を1つずつ取り出せる」だと思ってました。

鏡 弘道 @kagami_hr

@kuttinpa 空でない集合から要素を一つだけ取り出すには選択公理は不要です。それは通常の論理規則から導出できます。無限個の集合から一つずつ選ぶのには選択公理が必要です。さきほどの論法は f(0), f(1), … と無限個の選択を含んでいるので選択公理が必要です。

くっちんぱ @kuttinpa

@kagami_hr なるほど・・・いつもいつもありがとうございます

蟆 @patho_logic

@kuttinpa ZFおよびDedekind有限となる集合が存在するモデル上では可算濃度は「最小」と言えなくなるかと．Dedekind有限というのは無限集合で可算な部分集合を持たないわけですので，その集合の濃度が可算濃度以上と言えなくなります．

くっちんぱ @kuttinpa

@patho_logic 勉強が足りないのでデデキント有限がわかりませぬ・・・時間があったら調べてみます

蟆 @patho_logic

@kuttinpa あれ，定義まちがえてたかも…集合が自分自身とその真部分集合の間に全単射が存在しない時，デデキント有限っていいます．選択公理があれば有限とデデキント有限は一致しますが，ZF+デデキント有限な無限集合の存在するモデルも構成できます．

蟆 @patho_logic

@kuttinpa すみませんデデキント有限は関係ないかも．ともかくZF+無限集合で可算な部分集合をふくまないものが存在するモデルはありますんで，そのモデルではその無限集合の濃度は可算濃度以上とは言えないです．