(倉庫) 山田への数学

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (3) ジョルダン行列の対角成分はどれもジョルダン細胞だから， ジョルダン行列の行列式はジョルダン細胞すべての行列式の積であり， それはつまり「重複度を加味した固有値すべての積」に等しい。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (4) (2)で示した通り，ジョルダン細胞は上三角行列であるので， 上三角行列の性質を知っていれば済むことなので，あえて言及する必要が無いのだと思われる。 また，類似の形態の行列として「三重対角行列」があり， この中にジョルダン細胞やジョルダン行列が含まれている。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 三重対角行列の行列式の求め方については下記を参照。 Tridiagonal matrix / Determinant en.wikipedia.org/wiki/Tridiagon… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (5) 対角化可能な場合と同じであって， 結局は「行列式＝固有値の積」という事になる。 Proving the determinant of a square matrix A is the same as the determinant of it's jordan matrix, J math.stackexchange.com/questions/2008… .

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ２９週の #山田への数学 問２０１ 今回は，対角行列やジョルダン細胞の行列式を あえて余因子展開の漸化式で求めてみよう。 (1) 対角行列 Λ_n ＝ diag( λ_1, λ_2, …, λ_n ) ＝

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@zattanatubuyaki @C4TTUS { { λ_1, 0,　　 …, 0 }, { 0, λ_2, 0,　 …, 0 }, { 0, 0, λ_3, 0, …, 0 }, …, { 0, 0, …,　 0, λ_{n-1}, 0 }, { 0, 0, …,　 0, 0,　　　λ_n } } の行列式を，余因子展開によって求めよ。 (2) 固有値λに対応する，サイズ n のジョルダン細胞 J_n( λ ) ＝

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@zattanatubuyaki @C4TTUS { { λ, 1, 0,　　 …, 0 }, { 0, λ, 1, 0,　 …, 0 }, { 0, 0, λ, 1, 0, …, 0 }, …, { 0, 0, …,　 0, λ, 1 }, { 0, 0, …,　 0, 0, λ } } の行列式を，余因子展開によって求めよ。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 問２０１の講評 余因子展開の証明については問１１７を参照せよ。 twitter.com/mathematics_ta…

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ＝ Σ{j＝1→n} a_{i,j} ã_{i,j} (第i行について展開した場合)　④ ＝ Σ{i＝1→n} a_{i,j} ã_{i,j} (第j列について展開した場合)　⑤ と書く事ができる。 すなわち， ・ある１つの行内で，要素とその要素の余因子と積和をとる ・ある１つの列内で，要素とその要素の余因子と積和をとる という方法で，

2022-07-22 06:46:58

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 復習： ▶n次正方行列 M の「第 ( i, j ) 小行列式」 「行列 M の第i行と第j列を消去した n-1 次正方行列の行列式」であり ⊿_{i,j} で表す。 ▶正方行列 M の「第( i, j )余因子」 小行列式に符号をつけたもの。 ã_{i,j} ＝ (－1)^{i+j}・⊿_{i,j}

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@zattanatubuyaki @C4TTUS ▶余因子展開 det M ＝ Σ{j＝1→n} a_{i,j} ã_{i,j} (第i行について展開した場合) ＝ Σ{i＝1→n} a_{i,j} ã_{i,j} (第j列について展開した場合) 上記の情報を使って解いてみよう。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (1) 対角行列 Λ_n ＝ diag( λ_1, λ_2, …, λ_n ) ＝ { { λ_1, 0,　　 …, 0 }, { 0, λ_2, 0,　 …, 0 }, { 0, 0, λ_3, 0, …, 0 }, …, { 0, 0, …,　 0, λ_{n-1}, 0 }, { 0, 0, …,　 0, 0,　　　λ_n } } を１行目で余因子展開すると det Λ_n ＝

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (－1)^(1+1) ・ λ_1 ・ det { { λ_2, 0,　 …, 0 }, { 0, λ_3, 0, …, 0 }, …, { 0, …,　0, λ_{n-1}, 0 }, { 0, …,　0, 0,　　　λ_n } } ※Λ_n の第1行と第1列を除去した余因子 ＋ (－1)^(1+2) ・ 0 ・ { { 0, 0,　　 …, 0 }, { 0, λ_3, 0, …, 0 }, { 0, 0,　 λ_4, …, 0 }, …,

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@zattanatubuyaki @C4TTUS { 0, …,　0, λ_{n-1}, 0 }, { 0, …,　0, 0,　　 λ_n } } ※Λ_n の第1行と第2列を除去した余因子 ＋ (－1)^(1+3) ・ 0 ・ { { 0, λ_2, 0,　 …, 0 }, { 0, 0,　 0,　 …, 0 }, { 0, 0,　 λ_4, 0, …, 0 }, …, { 0, 0, …, 0, λ_{n-1}, 0 }, { 0, 0, …, 0, 0,　　 λ_n }

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@zattanatubuyaki @C4TTUS } ※Λ_n の第1行と第3列目を除去した余因子 ＋ … ＋ (－1)^(1+n) ・ 0 ・ { { 0, λ_2, 0,　　 …, 0 }, { 0, 0,　 λ_3, 0, …, 0 }, { 0, 0,　 0,　 λ_4, 0, …, 0 }, …, { 0, 0, …,　 0, λ_{n-1} }, { 0, 0, …,　 0, 0 } } ※Λ_n の第1行と第n列目を除去した余因子 ＝

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@zattanatubuyaki @C4TTUS λ_1 ・ det diag( λ_2, …, λ_n ) ＋ 0×(n－1) ＝ λ_1 ・ det Λ_{n-1} 上記の漸化式を使うと，帰納的に det diag( λ_1, λ_2, …, λ_n ) ＝ λ_1 ・ det diag( λ_2, …, λ_n ) ＝ λ_1 ・ λ_2 ・ det diag( λ_3, …, λ_n ) ＝ … ＝ ∏_{1≦i≦n} λ_i となるので，対角行列の行列式は固有値の積となる。

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@zattanatubuyaki @C4TTUS (2) ジョルダン細胞 J_n ( λ ) ＝ { { λ, 1, 0,　　 …, 0 }, { 0, λ, 1, 0,　 …, 0 }, { 0, 0, λ, 1, 0, …, 0 }, …, { 0, 0, …,　 0, λ, 1 }, { 0, 0, …,　 0, 0, λ } } を１行目で余因子展開すると det J_n (λ) ＝ (－1)^(1+1) ・ λ ・ det { { λ, 1,　 …, 0 }, { 0, λ, 1, …, 0 },

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@zattanatubuyaki @C4TTUS …, { 0, …, 0, λ, 1 }, { 0, …, 0, 0, λ } } ※J_n (λ) の第1行と第1列を除去した余因子で，(n-1)次の正方行列のdet ＋ (－1)^(1+2) ・ 1　(←ここが対角行列の場合の余因子展開と異なる) ・ { { 0, 1,　　…, 0 }, { 0, λ, 1,　…, 0 }, { 0, 0, λ, 1, …, 0 }, …, { 0, …,　 0, λ, 1 },

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@zattanatubuyaki @C4TTUS { 0, …,　 0, 0, λ } } ※J_n (λ) の第1行と第2列を除去した余因子で，(n-1)次の正方行列のdet ＋ (－1)^(1+3) ・ 0 ・ { { 0, λ, 0, 　…, 0 }, { 0, 0, 1, 0, …, 0 }, { 0, 0, λ, 1, …, 0 }, …, { 0, 0, …, 0, λ, 1 }, { 0, 0, …, 0, 0, λ } } ※J_n (λ) の第1行と第3列目を除去した

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@zattanatubuyaki @C4TTUS 余因子で，(n-1)次の正方行列のdet ＋ … ＋ (－1)^(1+n) ・ 0 ・ { { 0, λ, 1,　　 …, 0 }, { 0, 0, λ, 1,　 …, 0 }, { 0, 0, 0, λ, 1, …, 0 }, …, { 0, 0, …,　　 0, λ }, { 0, 0, …,　　 0, 0 } } ※J_n (λ) の第1行と第n列目を除去した余因子で，(n-1)次の正方行列のdet ＝

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@zattanatubuyaki @C4TTUS λ ・ det J_{n-1} (λ) ＋ 1・0 ＋ 0×(n－2) ＝ λ ・ det J_{n-1} (λ) 上記の漸化式を使うと，帰納的に det J_n (λ) ＝ λ ・ det J_{n-1} (λ) ＝ λ^2 ・ det J_{n-2} (λ) ＝ … ＝ λ^n となるので，サイズnのジョルダン細胞の行列式は固有値のn乗となる。