日曜数学者氏による、五度圏で、Cから完全五度で移調して戻る、この時、半音が増えるのは何故、についての各自の考察

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

前から疑問だったこと。 音楽理論の五度圏で、Cから始まってG, D, …と完全五度で移調すると12回でCに戻る。 ここまではいいとして、どうしてC→Gで♯が1個、Dで♯が2個、のようにちょうどピッタリ一個ずつ半音記号が増えるのでしょう。しかも♭ではなく♯だけ。 （半分超えると全部♭になるけど）

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

これってメジャースケールの持つ全全半全全全半という間隔の特殊性からくると思ってて、数学的にうまく説明できそうなんだけど自分の中で整理できていない。

☆むらかみｓｐ @orion_shobo

@tsujimotter 素人ですが失礼します 五度音程とは本来、周波数比が1.5倍の音です これをドから始めて(適宜2で割ながら)1.5倍していくという動作を12回繰り返すと、行き着く先が「ほぼドの音」である約1.013倍音になります そこで1オクターブを12音と決め、表記方として五線に♯♭を使用するとそのようになります

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@orion_shobo ありがとうございます。 結果的に、♯が1個ずつ増える（♭が1個ずつ減る）ということになるのは分かりますが、なぜそうなるのかの理屈を数学的に説明できないかという問題提起でした。

Prismaton @prismaton

@tsujimotter 急なリプ失礼いたします。音律関連は趣味です。 スケールの音名が絡む場合、五度圏をらせん状に考えると理解しやすいと思います。 メジャースケールはらせんの上の連続した7音(第1音に反時計回りに1つ時計回りに5つを足したもの)で構成されるので時計回りに1つずらすと♯が1つ増えるか♭が1つ減ります pic.twitter.com/Xjy3C826Vg

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tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@prismaton いやー、まったくもってその通りですね！ 先に全ての音を五度圏にマッピングひておいて、一斉に回せば良いわけですね。そうすれば、シャープが1ずつ増える理由は明らかです。 スッキリ氷解しました。ありがとうございます！

みゆ🌹ฅ^•ω•^ฅ @X68KBBS / MSXBBS / FANKS @arith_rose

@tsujimotter こちら、私の記事が参考になりましたら幸いです❣ mathlog.info/articles/2514

長谷川 要 @kanamene

@tsujimotter まずC→Gの転調をするとき、スケールの4番目にあたる音(この場合はF)に♯が付きます。それは自明とします。 そして、ここで移動ドを考えます。GをCと見做すわけですね。ここでもC→Gをすると♯ が4番目の音につきます。 Cと見做していたCをGと捉え直すと、♯が1こ増える時、5度上の調に転調するのは(続

ktgw Masahiro @ktgw0316

@tsujimotter 逆に「どこかに♯を1個だけ足すことで移調したい」と考えるなら、♯は第4音に付けて完全5度上へ移調するしかない（でないと長音階が保てない）。同様に♭なら第7音に付けて完全4度上。 元々これが五度圏・四度圏の由来だと自分は思ってます。 けど、そういう話題ではない…？

ケント@小指破雷 @kentoss_guitar

@tsujimotter 興味深い話題です！C→Gで♯が1つ増えるのを示すことができれば、同様にG→Dで♯が1つ増えることを示せるように思いました。 x=(全全半全全全半) y=(xの要素を5671234番目の順に置換したベクトル) とするとxとyの差分が第6〜7要素が「全半」か「半全」かのみであることが肝のように思いました。

生き褒めしえさん @Cie_LXX

@tsujimotter C＝全全半全全全半全全半全 G＝＿＿＿＿全全半全全全半 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿↑ G長調の第6音と第7音の間隔（矢印の所）が全音なので、C長調より第7音だけが半音高いから。 （同様のことが五度ちがいの全ての調の間で成り立つから） というのを思い付きました。

Masayuki Isobe @chiral

@tsujimotter 僕もそれ疑問でしたが、例えばフラットの方でいうと、一周するまで導音が毎回黒鍵になるというのは何となく納得行く気がしました。

tune3orz※今年は地震に警戒 @tune3orz

@tsujimotter 円周上にC,C#,D,D#,E.F.... の12音を時計まわりにならべて (Cは◯、C#は●で表現) それを全全半全全全半の間隔で 拾っていくと考えると 問題をイメージできやすい ように思います。

鈴木有理(週末作曲家）@5月5日結婚記念演奏会(浜離宮) @ComposerYuuriS

@tsujimotter 群の一種です。

☆むらかみｓｐ @orion_shobo

@tsujimotter なるほど失礼いたしました、とても興味深いです。 表記的な都合(ドレミファソラシがそれぞれ2212221個の音を内包している / オクターブ内の音数=12はそう定義されたもの であるため)かと考えていましたが、 12以外の分割や別のスケールだとどうなるのかについても興味が湧きました😂

Hikaru Ikuta @woodrush924

@tsujimotter @prismaton これ本当に面白いですね！ 「メジャースケールは五度飛ばしの音を7つ集めたもの（五度飛ばしの幅が6）である」ことに加えて、「五度飛ばしを7回繰り返すこと（幅が7=6+1）は丁度半音ずらす操作と等しい」という性質が「臨時記号＃,♭で修飾された音が1個ずつ増える」性質のために大事な気がしました。 pic.twitter.com/gq5GHWCI5t

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