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2010年5月26日

20100526結城せんせいからの問題とその解答など

結城浩先生からの「数学好き」に送る問題です。読んでみて自分なりの解答を考えたり、他の誰かの解答を読んで「ふんふん」とうなずきましょう。
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結城浩 @hyuki

数学クイズ。反例を具体的にあげることは不可能だけれど、反例の存在は示せるという証明問題を作れ。ただし、高校数学の範囲で。ちなみに、結城はまだ知りません。

2010-05-26 17:34:16
@patho_logic

@hyuki その問題「反例」という言葉は要らないのでは.「存在の具体例をあげることは不可能だけど,存在は示すことができるという証明問題」で充分だと思います.

2010-05-26 17:37:40
root(XY) @xyhibi

@hyuki √2は無理数である事を証明しなさい・・・というのはダメですか?

2010-05-26 17:42:37
結城浩 @hyuki

@patho_logic あーそうですけど、問題としていいやすかったので。すみません。

2010-05-26 17:43:59
@tonamba

超越関数絡みで何か作れそうな気はする RT @hyuki: 数学クイズ。反例を具体的にあげることは不可能だけれど、反例の存在は示せるという証明問題を作れ。ただし、高校数学の範囲で。ちなみに、結城はまだ知りません。

2010-05-26 17:54:36
@igaris

@hyuki 平均値の定理とか。厳密な証明は高校では不可能ですが。反例ではないですね。

2010-05-26 18:10:51
大西 達也 @riceaddict

「人力では不可能」なら「素数は全て発見された」というのを思いつきましたが、「不可能」じゃないですね… RT @hyuki: 数学クイズ。反例を具体的にあげることは不可能だけれど、反例の存在は示せるという証明問題を作れ。ただし、高校数学の範囲で。ちなみに、結城はまだ知りません。

2010-05-26 18:13:01
@ktsurut

@hyuki 「明後日までに文字として全ての自然数は表記される。」 > 有限個しか表記できないので必ず反例はあるけれど、反例として提示してしまうと、反例になっていないものになる。 (表記とする部分が甘いですかね・・・)

2010-05-26 18:16:01
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@hyuki 「不可能」の意味が分からないのでビンゴではないと思いますし、ご存知の可能性も高いですが、「無理数の無理数乗は、必ず無理数である?」――もしa = (√2)^(√2)が有理数ならこれが反例だが、有理数かどうか分からない。(続く)

2010-05-26 18:22:08
ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@hyuki でもaが無理数なら、a^√2 = {(√2)^(√2)}^√2 = (√2)^(√2×√2) = (√2)^2 = 2なので、a^√2が反例。つまりaかa^√2の一方が反例になるはずだが、どちらが反例か分からない。

2010-05-26 18:24:17
あかりん型軽巡洋艦あかりん @Resias

自然数nとn+2が共に素数のとき、それらは無限個存在する。ってのはダメでしょうか。RT @hyuki: 数学クイズ。反例を具体的にあげることは不可能だけれど、反例の存在は示せるという証明問題を作れ。ただし、高校数学の範囲で。ちなみに、結城はまだ知りません。

2010-05-26 18:25:10
つてつち @tutetuti

ネット認証などに良く使われるハッシュ関数Hの一方向性「H(x)=H(y)となる入力x,yの発見は確率的に不可能(しかし存在することは明らか)」も証明されないまま使われてますねRT @erickqchan: @hyuki 不可能であることを証明するところがものすごく大変ですよね。

2010-05-26 18:53:16
まろやか🐟ついに来た浅利773戦国時代 @MaroYakaZ

不可能って「反例を具体的に示す方法が現在未発見」ってことかな? RT @hyuki: 数学クイズ。反例を具体的にあげることは不可能だけれど、反例の存在は示せるという証明問題を作れ。ただし、高校数学の範囲で。ちなみに、結城はまだ知りません。

2010-05-26 19:05:47
@ktsurut

反例として取り出すと反例でなくなるものは当てはまる。RT @hyuki: 数学クイズ。反例を具体的にあげることは不可能だけれど、反例の存在は示せるという証明問題を作れ。ただし、高校数学の範囲で。ちなみに、結城はまだ知りません。

2010-05-26 19:07:50
jueli @jueli62

@hyuki 具体的に挙げる、と言うのが厄介ですね。具体的とは何か、と定義から始めたくなる。例えば∀θ(sinθ≠1/3θ)だって、反例を「具体的に」挙げるのはちょっと苦しい。

2010-05-26 19:11:02
@matcha_curry

0<θ<π/2 ⇒ |cosθ-(1/√5)|>0 RT @safour_131: RT @hyuki: 数学クイズ。反例を具体的にあげることは不可能だけれど、反例の存在は示せるという証明問題を作れ。ただし、高校数学の範囲で。ちなみに、結城はまだ知りません。

2010-05-26 20:08:47
黒田真樹 @kurodams

@hyuki つい最近読んだ本にあったこんな例はどうでしょう。無理数の無理数乗で有理数となるものはあるか。答は、「 ルート2のルート2乗 」。この数が有理数ならそれでよい。この数が無理数ならば、さらにルート2乗すると2となり、有理数である。

2010-05-26 21:40:59
黒田真樹 @kurodams

@hyuki 「ルート2のルート2乗」そのものがどちらかはわからなくても、結果としてはもとの問いに答えられるというところがミソです。出典は、ナイーン『最大値と最小値の数学』の前書きです。えっと、勘違いだったらすみません。

2010-05-26 21:43:29
@akio_saitou

「フィボナッチ数列のなかに、√2の最初のN桁と同じ数字の並びを持つN桁の数字はないことを証明せよ」とか。。QT @hyuki 数学クイズ。反例を具体的にあげることは不可能だけれど、反例の存在は示せるという証明問題を作れ。ただし、高校数学の範囲で。ちなみに、結城はまだ知りません。

2010-05-26 21:53:41
@akio_saitou

ただし「1」を除く。QT @akio_saitou 「フィボナッチ数列のなかに、√2の最初のN桁と同じ数字の並びを持つN桁の数字はないことを証明せよ」 QT @hyuki 反例を具体的にあげることは不可能だけれど、反例の存在は示せるという証明問題を作れ。ただし、高校数学の範囲で。

2010-05-26 21:55:43
@ktsurut

@yuya_bonten @hyuki @kurodams 「ルート2のルート2乗」が反例として提示できない。というのは分かりますが、反例が実際に存在することの立証と、それが提示できないモノである事の立証は、どうなっているのでしょうか。 

2010-05-26 21:57:05
あんちもん2 @antimon2

検証してみましたけどそれは、θ=acos(1/√5)が反例(acosはcosの逆関数)ですよね。代数的数じゃないだけで具体的に挙げられます。 RT @matcha_curry: 0<θ<π/2 ⇒ |c.. http://togetter.com/li/24331

2010-05-26 22:38:08
@matcha_curry

@antimon2 逆三角関数は高校数学の範囲ではありません。

2010-05-26 22:47:51
あんちもん2 @antimon2

@matcha_curry ああ、そういうことか。1本取られた(>_<;

2010-05-26 22:56:10