こんさんの選択公理オフ実況

スマートコン @mr_konn

∴ ∅ ≠∩_{λ∈Λ}π_λ(X_λ) = Π_{λ∈Λ} X_λ□ #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

Tychonoff の定理は割と強い定理なので、より弱い定理からもACも導くことが出来る。それを見よう！ #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

(1) 「(X_λ, O_{X_λ})：位相空間, |O_{X_λ}| < ∞| ⇒ Π_{λ∈Λ} X_λ : cpt」からACが云える。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

以下の(2)(3)もACと同値。(2) 「|O_{X_λ}| = 3 ⇒ Π_{λ∈Λ} X_λ : cpt」 (3) 「X_λ: cpt. かつ T_1空間 ⇒ ΠX_λ: cpt.」 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

最後のについては O_{Y_λ} = { U ⊂ Y_λ | |Y_λ \ U| < ∞} ∪ {∅, {∞}} とおけば X_λ ∈ A_{Y_λ} が云えて示せる。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

じゃあじゃあ、T_1じゃなくてHaskdorffを仮定したら？これからACは出ない。この命題はBPI「ブール代数は素イデアルを持つ」とか「単位的可換環は素イデアルを持つ」と行った命題と同値になる。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

「T_3 とかだとどうなんですか？」「わかんないです」 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

「X_λ: cpt., ∀λ ∀μ, X_λ と X_μ は同相」 ⇒ ΠX_λ はcpt. からもACが云える。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

(∵) {X_λ}_{λ∈Λ} X_λ ≠ ∅, X_λ ∩ X_μ = ∅ (λ ≠ μ) としてよい。Y = ∪ X_λ、O_Y = {∪{λ∈Σ} X_λ | Σ⊆Λ, |Λ＼Σ| < ∞} ∪ {∅}とするとO_Yはcpt.。X_λ⊂Yは閉。 #選択公理ちゃんマジ公理

スラステ @slapstick123

「これから選択公理が導けます。これは怖いですね」ｗｗｗ #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

Π_{λ∈Λ}Y について標準射影π_λ: ΠY → Yを考える。{π⁻¹_λ(X_λ)}_{λ∈Λ} は FIPを持つ。∅ ≠∩π⁻¹_λ(X_λ) = ΠX_λ よって示された。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

・「(X_λ, O_{X_λ})、 |O_λ| = 3, X_λ と X_μ は同相」⇒ ΠX_λ: cpt. もACと同値！ #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

(∵) X := ∪_{λ∈Λ} X_λ, Y := X × 𝐍^X, O_λ := {∅, (X＼X_λ)×N^X, Y} とする。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

ここでλ,μ∈Λ, |X_λ × 𝐍^X| = |X_μ × 𝐍^X| となることを示す。(x, f)∈X × 𝐍^X に対し、g=g(x,f)∈𝐍^X をg(y) = 2f(y) (y ≠ x), g(y) = 2f(y)+1 (y = x)で定む。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

φ: X_λ × 𝐍^X → X_μ × 𝐍^X を、a∈X_μを取って(x, f) ↦ (a, g(x, f)) で定めてやればφは単射となる。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

[(∵) g(x, f) = g(x', f'), x = x'。∀y≠x, 2f(y) = 2f'(y) ∴f=f'] よって逆向きの単射と併せてBernstein の定理から |X_λ × 𝐍^X| = |X_μ × 𝐍^X|。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

いよいよ (Y, O_λ) と (Y, O_μ) が同相を示す。λ≠μとする。F: X_λ × 𝐍^X → X_μ × 𝐍^X 全単射を考える。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

図のようなGを考えるとこれは同相写像。 #選択公理ちゃんマジ公理 http://t.co/f704nNhf

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スマートコン @mr_konn

つまり、G(x, f) := { F(x, f) (x ∈ X_λ); F⁻¹(x,f) (x ∈ X_μ); (x, f) (otherwise) } で定めてみると、これはなんと同相写像だ！ #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

\~{Y} = Π_{λ∈Λ} (Y, O_λ)：はコンパクト。{π⁻¹(X_λ × 𝐍)}_{λ×Λ}を考えれば∅≠∩π⁻¹(X_λ×𝐍^X) = Π (X_λ × 𝐍^X) ∋ (x_λ, f_λ) _{λ∈Λ}。∴(x_λ)∈ΠX_λ。□ #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

これで @alg_d さんによる Tychonoff の定理関連は終了〜〜！！！この後なんか僕が話すらしいですがコワイ #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

がくぶる #選択公理ちゃんマジ公理

issei*fam @it__ssei

2012.3.3の選択公理オフで、私が取ったアルゴさんの講義ノートをpdf化したので公開します。http://t.co/dPiAA84K 見開きのノートで書いたので奇数ページがノート本体、偶数ページがメモ書きです。あと、所々ボールペンでの書き間違いがあって見苦しくてごめんなさい。